Ensino Superior

Se [tex3]A\;e\;B[/tex3] são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz [tex3]\begin{pmatrix}
1& 0\\
0& -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3] mostre que [tex3]AB=BA[/tex3] .

Essa questão eu fiz, porém não consigo chegar a resposta do gabarito

Resposta

AB=[tex3]\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & d \\
\end{pmatrix}[/tex3] [tex3]\begin{pmatrix}
e & 0 \\
0 &h\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
ae & 0 \\
0 & dh \\
\end{pmatrix}=BA[/tex3]

Alguém que saiba fazer ?

se A=[tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}[/tex3] . [tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0& -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3] temos:[tex3]\begin{pmatrix}
a & -b \\
c & -d \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Fazendo
[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3] .[tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}[/tex3] resulta em [tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
-c & -d \\
\end{pmatrix}[/tex3]
igualando as matrizes temos que:

[tex3]\begin{pmatrix}
a & -b \\
-c &- d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & -d \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Conclui-se que:a=a
c=-c-=0
b=-b=0
-d=-d

Seja B=[tex3]\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h \\
\end{pmatrix}[/tex3]
B=[tex3]\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h \\
\end{pmatrix}[/tex3] .[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
e & -f \\
g & -h \\
\end{pmatrix}[/tex3]
e
[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3] .[tex3]\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h \\
\end{pmatrix}[/tex3] = [tex3]\begin{pmatrix}
e & f \\
-g & -h \\
\end{pmatrix}[/tex3]
igualando as matrizes temos que:
e=e
f=-f=0
-g=g=0
-h=-h

Fazendo:
[tex3]\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & -d \\
\end{pmatrix}[/tex3] .[tex3]\begin{pmatrix}
e & 0 \\
0 & -h \\
\end{pmatrix}[/tex3] =

[tex3]\begin{pmatrix}
ae & 0 \\
0 & dh \\
\end{pmatrix}[/tex3] = B.A

Por que [tex3]f=-f, g=-g=0???[/tex3]

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