Ensino SuperiorConcavidade, máximos e minimos

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moisscoutinho
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Jul 2017 23 12:54

Concavidade, máximos e minimos

Mensagem não lida por moisscoutinho »

Boa tarde, pessoal!
Estudo ADM e tenho algumas dificuldades com calculos, tenho algumas questoes mas nao sei por onde começar. Preciso de ajuda

1- [tex3]f (x) = 7 - 12x + 3x^2 + 2x^3[/tex3]
a - encontre os pontos criticos
b - intervalo de crescimento e decrescimento, máximos e minimos
c - o concavidade e ponto de inflexao
d - o grafico

Ficarei muito grato! :)

Última edição: moisscoutinho (Dom 23 Jul, 2017 13:07). Total de 1 vez.



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Elec1996
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Jul 2017 30 02:15

Re: Concavidade, máximos e minimos

Mensagem não lida por Elec1996 »

Oi moisscoutinho,
A)Os pontos críticos da função são aqueles em que a derivada primeira é igual á zero(ou nos extremos do intervalo de analise,mais como você não falou qual é o intervalo de analise vamos admitir que é de [tex3]-\infty [/tex3] a [tex3]\infty [/tex3] ).
Com [tex3]f(x)=7-12x+3x^{2}+2x^{3}[/tex3] ,temos que [tex3]\frac{df}{dx}=6x^{2}+6x-12[/tex3] .Igualando a derivada a zero, sabemos que os pontos [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]x=-2[/tex3] são pontos críticos.
B)O intervalo de crescimento é o intervalo onde a derivada primeira é positiva.O intervalo de decrescimento é o intervalo onde a derivada primeira é negativa.Como sabemos as raízes da derivada primeira,devemos testar o sinal da derivada primeira de [tex3]-\infty ,-2[[/tex3] ,[tex3]]-2 ,1[[/tex3] e [tex3]]1,\infty[/tex3] .
Por inspeção, vê-se que no intervalo [tex3]-\infty ,-2[[/tex3] a derivada primeira é positiva,mostrando que a função está crescendo.No intervalo [tex3]]-2 ,1[[/tex3] a derivada primeira é negativa,mostrando decrescimento.No intervalo [tex3]]1,\infty[/tex3] a derivada primeira é positiva novamente,mostrando crescimento de novo.
Para saber se -2 e 1 são pontos máximos ou mínimos locais,devemos saber a derivada segunda.A derivada segunda positiva no ponto indica concavidade da função para cima,logo,ponto minimo.Derivada segunda negativa indica ponto concavidade para baixo,logo ponto máximo.
A derivada segunda é [tex3]\frac{d^{2}f}{dx^2}=12x+6[/tex3] .A derivada segunda em -2 é negativa,indicando ponto máximo.A derivada segunda em 1 é positiva,indicando ponto minimo.
C)
Quando a derivada segunda é igual a zero,temos um ponto de inflexão,ou seja,um ponto de mudança de concavidade.Como já sabemos, a derivada segunda da função é [tex3]\frac{d^{2}f}{dx^2}=12x+6[/tex3] .Logo temos um ponto de inflexão em x=-1/2.Por inspeção se vê que no intervalo [tex3]-\infty ,-1/2[[/tex3] a concavidade é para baixo.No intervalo [tex3]]-1/2,\infty[/tex3] , a concavidade é para cima.




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