Ensino Superior ⇒ GAAL, Área do paralelogramo Tópico resolvido

[caioleitemg]

Bom dia, poderiam me ajudar nesta questão, por favor, estou com dificuldade em achar o "AD".

Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = (1, 0, 1), B = (2, 1, 3) e
C = (3, 2, 4).

Resposta

---

AB= (2, 0, −3),
AC= (−1, 2, −4),
AD= (−1, 1, −5),
(AB ×AC)·AD= −15.
O volume do paralelepípedo é 15 unidades de vol.

[jedi]

o ponto médio entre AC tem que ser igual ao ponto medio de BD

então

[tex3]\left(\frac{1+3}{2},\frac{0+2}{2},\frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{2+d_x}{2},\frac{1+d_y}{2},\frac{3+d_z}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{1+3}{2},\frac{0+2}{2},\frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{2+d_x}{2},\frac{1+d_y}{2},\frac{3+d_z}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{1+3}{2}=\frac{2+d_x}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1+3}{2}=\frac{2+d_x}{2}[/tex3]

[tex3]d_x=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_x=2[/tex3]

[tex3]\frac{0+2}{2}=\frac{1+d_y}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{0+2}{2}=\frac{1+d_y}{2}[/tex3]

[tex3]d_y=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_y=1[/tex3]

[tex3]\frac{1+4}{2}=\frac{3+d_z}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1+4}{2}=\frac{3+d_z}{2}[/tex3]

[tex3]d_z=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_z=2[/tex3]

então [tex3]D=(2,1,2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=(2,1,2)[/tex3]

agora é só calcular AD e achar a área

[paulo testoni]

Hola.

Só ilustrando um pouco e respeitando a ótima resolução do amigo jedi.

Temos [tex3]\vec{AB}=\vec{DC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AB}=\vec{DC}[/tex3]

, mas: [tex3]D=(d_1, d_2, d_3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=(d_1, d_2, d_3)[/tex3]

[tex3]\vec{AB} = B-A=(2, 1, 3) -(1, 0, 1) = (1, 1, 2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AB} = B-A=(2, 1, 3) -(1, 0, 1) = (1, 1, 2)[/tex3]

. Logo:

[tex3](1, 1, 2) = \vec{DC}=C-D=(3, 2, 4)-(d_1, d_2, d_3)=(3-d_1, 2-d_2, 4-d_3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1, 1, 2) = \vec{DC}=C-D=(3, 2, 4)-(d_1, d_2, d_3)=(3-d_1, 2-d_2, 4-d_3)[/tex3]

. Assim:

[tex3]3-d_1=1==>d_1=2\\
2-d_2=1==>d_2=1\\
4-d_3=2==>d_3=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3-d_1=1==>d_1=2\\
2-d_2=1==>d_2=1\\
4-d_3=2==>d_3=2[/tex3]

Portanto: [tex3]D(2, 1, 2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D(2, 1, 2)[/tex3]

[paulo testoni]

Hola.

Uma outra maneira de fazer:

pra.gif (8.79 KiB) Exibido 5053 vezes

Vamos encontrar o vértice oposto a B, sendo dados A, B e C.

O ponto D é dado por:

[tex3]D=A+\vec{BC} \\
Ou\\
D=C+\vec{BA}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=A+\vec{BC} \\
Ou\\
D=C+\vec{BA}[/tex3]

Como [tex3]\vec{BC}=C-B=(3, 2, 4)-(2, 1, 3)=(1, 1, 1)\\
D=(1, 0, 1)+(1, 1, 1)\\
D=(2, 1, 2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{BC}=C-B=(3, 2, 4)-(2, 1, 3)=(1, 1, 1)\\
D=(1, 0, 1)+(1, 1, 1)\\
D=(2, 1, 2)[/tex3]

Ou
[tex3]\vec{BA}=A-B=(1, 0, 1)-(2, 1, 3)=(-1, -1, -2)\\
D=(3, 2, 4)+(-1, -1, -2)\\
D=(2, 1, 2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{BA}=A-B=(1, 0, 1)-(2, 1, 3)=(-1, -1, -2)\\
D=(3, 2, 4)+(-1, -1, -2)\\
D=(2, 1, 2)[/tex3]