Ensino Superior ⇒ Soma e Recorrência de coeficientes Tópico resolvido
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20:12
Soma e Recorrência de coeficientes
Determine por meio de uma integral a soma [tex3]S=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n[/tex3]
, onde [tex3]a_0=k[/tex3]
e [tex3]a_{n+1}=a_n\frac{np+q}{(n+1)r+t}[/tex3]
.
Última edição: Andre13000 (Sex 14 Jul, 2017 21:53). Total de 1 vez.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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21:43
Re: Soma e Recorrência de coeficientes
[tex3]S(x^r) = \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n-1)p+q}{nr+t}x^{rn} + k[/tex3]
[tex3]x^tS(x^r) = \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n-1)p+q}{nr+t}x^{rn+t} + kx^{t}[/tex3]
derivando em relação a [tex3]x[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = \sum_{n=1}^{\infty }((n-1)p+q)x^{rn+t-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
ai você fica com uma PG e com a derivada de uma PG do lado direito, integrando de x indo de zero até [tex3]y^{\frac1r}[/tex3] você obtém [tex3]S(y)[/tex3]
[tex3]x^tS(x^r) = \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n-1)p+q}{nr+t}x^{rn+t} + kx^{t}[/tex3]
derivando em relação a [tex3]x[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = \sum_{n=1}^{\infty }((n-1)p+q)x^{rn+t-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
ai você fica com uma PG e com a derivada de uma PG do lado direito, integrando de x indo de zero até [tex3]y^{\frac1r}[/tex3] você obtém [tex3]S(y)[/tex3]
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21:52
Re: Soma e Recorrência de coeficientes
Outra vez eu cometi erro na hora de digitar a questão.. . Malz ai. Já corrigi a lei de recorrência.
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12:37
Re: Soma e Recorrência de coeficientes
[tex3]S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n[/tex3]
[tex3]x^tS(x^r) = \sum_{n=1}^{\infty }a_nx^{rn+t} + kx^{t}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = \sum_{n=1}^{\infty }(nr+t)a_nx^{rn+t-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = \sum_{n=1}^{\infty }(nr+t)a_nx^{rn+t-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3]n=m+1[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = \sum_{m=0}^{\infty }(mr+t+r)a_{m+1}x^{rm+t+r-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = \sum_{m=0}^{\infty }a_{m}(mp+q)x^{rm+t+r-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = p\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}mx^{rm+t+r-1}+q\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}x^{rm+t+r-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = px^{t+r-1}\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}mx^{rm}+qx^{t+r-1}\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}x^{rm} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = x^{t-1}(px^{r}\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}mx^{rm}+qx^{r}\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}x^{rm} + kt)[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = x^{t-1}(px^{2r}S'(x^r)+qx^{r}S(x^r) + kt)[/tex3]
... [tex3]y(x) = S(x^r)\rightarrow y' = S'(x^r)rx^{r-1}[/tex3] ?
[tex3]tx^{t-1}y+x^ty' = x^{t-1}(\frac{p}rx^{r+1}y'+qx^ry+kt)[/tex3]
[tex3]ty+xy' = (\frac{p}rx^{r+1}y'+qx^ry+kt)[/tex3]
[tex3]0= (\frac{p}rx^{r+1}-x)y'+(qx^r-t)y+kt[/tex3]
[tex3]x^tS(x^r) = \sum_{n=1}^{\infty }a_nx^{rn+t} + kx^{t}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = \sum_{n=1}^{\infty }(nr+t)a_nx^{rn+t-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = \sum_{n=1}^{\infty }(nr+t)a_nx^{rn+t-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3]n=m+1[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = \sum_{m=0}^{\infty }(mr+t+r)a_{m+1}x^{rm+t+r-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = \sum_{m=0}^{\infty }a_{m}(mp+q)x^{rm+t+r-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = p\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}mx^{rm+t+r-1}+q\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}x^{rm+t+r-1} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = px^{t+r-1}\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}mx^{rm}+qx^{t+r-1}\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}x^{rm} + ktx^{t-1}[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = x^{t-1}(px^{r}\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}mx^{rm}+qx^{r}\sum_{m=0}^{\infty }a_{m}x^{rm} + kt)[/tex3]
[tex3](x^tS(x^r))' = x^{t-1}(px^{2r}S'(x^r)+qx^{r}S(x^r) + kt)[/tex3]
... [tex3]y(x) = S(x^r)\rightarrow y' = S'(x^r)rx^{r-1}[/tex3] ?
[tex3]tx^{t-1}y+x^ty' = x^{t-1}(\frac{p}rx^{r+1}y'+qx^ry+kt)[/tex3]
[tex3]ty+xy' = (\frac{p}rx^{r+1}y'+qx^ry+kt)[/tex3]
[tex3]0= (\frac{p}rx^{r+1}-x)y'+(qx^r-t)y+kt[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sáb 15 Jul, 2017 12:48). Total de 2 vezes.
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16:14
Re: Soma e Recorrência de coeficientes
Acho que se você escrever [tex3]y(x) = u(x) + v(x)[/tex3]
você consegue resolver duas edos simples separadamente e achar y-
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11:05
Re: Soma e Recorrência de coeficientes
Usando [tex3](n+1)a_{n+1}r+ta_{n+1}=npa_n +qa_n[/tex3]
1.
[tex3]S=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\
S'=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}\\
xpS'=\sum_{n=0}^\infty npa_n x^{n}\\
xpS'+qS=\sum_{n=0}^\infty npa_nx^n+qa_nx^n[/tex3]
2.
[tex3]S=\sum_{n=-1}^\infty a_{n+1}x^{n+1}\\
rS'=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}rx^{n}\\
tS=\sum_{n=-1}^\infty ta_{n+1}x^{n+1}\\
tSx^{^-1}-ta_0x^{-1}=\sum_{n=0}^\infty ta_{n+1}x^{n}\\
rS'+tSx^{-1}-ta_0x^{-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}rx^n+ta_{n+1}x^{n}[/tex3]
E como [tex3]\sum_{n=0}^\infty(n+1)a_{n+1}rx^n+ta_{n+1}x^n=\sum_{n=0}^\infty npa_nx^n +qa_nx^n[/tex3]
[tex3]rS'+tSx^{-1}-ta_0x^{-1}=xpS'+qS\\
S'+\frac{(t-xq)}{x(r-xp)}S=\frac{ta_0}{x(r-xp)}\\
\left(\frac{Sx^{\frac{t}{r}}}{(r-xp)^{\frac{pt-qr}{rp}}}\right)=\dots[/tex3]
To com preguiça de fazer o resto...
1.
[tex3]S=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\
S'=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}\\
xpS'=\sum_{n=0}^\infty npa_n x^{n}\\
xpS'+qS=\sum_{n=0}^\infty npa_nx^n+qa_nx^n[/tex3]
2.
[tex3]S=\sum_{n=-1}^\infty a_{n+1}x^{n+1}\\
rS'=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}rx^{n}\\
tS=\sum_{n=-1}^\infty ta_{n+1}x^{n+1}\\
tSx^{^-1}-ta_0x^{-1}=\sum_{n=0}^\infty ta_{n+1}x^{n}\\
rS'+tSx^{-1}-ta_0x^{-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}rx^n+ta_{n+1}x^{n}[/tex3]
E como [tex3]\sum_{n=0}^\infty(n+1)a_{n+1}rx^n+ta_{n+1}x^n=\sum_{n=0}^\infty npa_nx^n +qa_nx^n[/tex3]
[tex3]rS'+tSx^{-1}-ta_0x^{-1}=xpS'+qS\\
S'+\frac{(t-xq)}{x(r-xp)}S=\frac{ta_0}{x(r-xp)}\\
\left(\frac{Sx^{\frac{t}{r}}}{(r-xp)^{\frac{pt-qr}{rp}}}\right)=\dots[/tex3]
To com preguiça de fazer o resto...
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