Estou com grande dificuldade na integral abaixo:
[tex3]\int \frac{1}{3senx - 4cosx}dx[/tex3]
Poderia por gentileza me ajudar na solução?
Obrigado!
Ensino Superior ⇒ Cálculo I - Integração por Substituição por tan θ/2
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Jul 2017
04
09:06
Cálculo I - Integração por Substituição por tan θ/2
Última edição: Calbf1 (Ter 04 Jul, 2017 09:06). Total de 1 vez.
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Jul 2017
07
18:44
Re: Cálculo I - Integração por Substituição por tan θ/2
Fazendo [tex3]t=tan\left(\frac{x }{2}\right)[/tex3]
[tex3]x=2\cdot arctg(t)\therefore dx=\frac{2}{1+t^2}\cdot dt[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
[tex3]sen(x)=\frac{2t}{1+t^2}[/tex3]
[tex3]cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex3]
[tex3]3sen(x)-4cos(x)=\frac{6t}{1+t^2}-\frac{4-4t^2}{1+t^2}=\frac{4t^2+6t-4}{1+t^2}=\frac{(4t-2)(t+2)}{1+t^2}[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
Fazendo as substituições (I) e (II) na integral:
[tex3]\int \frac{1+t^2}{(4t-2)(t+2)}\cdot \frac{2}{1+t^2}\cdot dt=\int \frac{dt}{(2t-1)(t+2)}[/tex3]
Pelo método das frações parciais, temos que:
[tex3]\frac{1}{(2t-1)(t+2)}=\frac{1}{5}\left(\frac{2}{2t-1}-\frac{1}{t+2}\right)[/tex3]
Logo,
[tex3]\int \frac{dt}{(2t-1)(t+2)}=\frac{2}{5}\int \frac{dt}{2t-1}-\frac{1}{5}\int \frac{dt}{t+2}[/tex3]
Fazendo substituições ([tex3]u=2t-1[/tex3] , [tex3]v=t+2[/tex3] ), concluímos:
[tex3]\frac{2}{5}\int \frac{dt}{2t-1}-\frac{1}{5}\int \frac{dt}{t+2}=\frac{ln|2t-1|}{5}-\frac{ln|t+2|}{5}+C[/tex3]
Portanto,
[tex3]\int \frac{1}{3senx - 4cosx}dx=\frac{ln\left|2tan(\frac{x}{2})-1\right|-ln\left|tan(\frac{x}{2})+2\right|}{5}+C[/tex3]
, então:[tex3]x=2\cdot arctg(t)\therefore dx=\frac{2}{1+t^2}\cdot dt[/tex3] [tex3](I)[/tex3]
[tex3]sen(x)=\frac{2t}{1+t^2}[/tex3]
[tex3]cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex3]
[tex3]3sen(x)-4cos(x)=\frac{6t}{1+t^2}-\frac{4-4t^2}{1+t^2}=\frac{4t^2+6t-4}{1+t^2}=\frac{(4t-2)(t+2)}{1+t^2}[/tex3] [tex3](II)[/tex3]
Fazendo as substituições (I) e (II) na integral:
[tex3]\int \frac{1+t^2}{(4t-2)(t+2)}\cdot \frac{2}{1+t^2}\cdot dt=\int \frac{dt}{(2t-1)(t+2)}[/tex3]
Pelo método das frações parciais, temos que:
[tex3]\frac{1}{(2t-1)(t+2)}=\frac{1}{5}\left(\frac{2}{2t-1}-\frac{1}{t+2}\right)[/tex3]
Logo,
[tex3]\int \frac{dt}{(2t-1)(t+2)}=\frac{2}{5}\int \frac{dt}{2t-1}-\frac{1}{5}\int \frac{dt}{t+2}[/tex3]
Fazendo substituições ([tex3]u=2t-1[/tex3] , [tex3]v=t+2[/tex3] ), concluímos:
[tex3]\frac{2}{5}\int \frac{dt}{2t-1}-\frac{1}{5}\int \frac{dt}{t+2}=\frac{ln|2t-1|}{5}-\frac{ln|t+2|}{5}+C[/tex3]
Portanto,
[tex3]\int \frac{1}{3senx - 4cosx}dx=\frac{ln\left|2tan(\frac{x}{2})-1\right|-ln\left|tan(\frac{x}{2})+2\right|}{5}+C[/tex3]
Jul 2017
07
19:24
Re: Cálculo I - Integração por Substituição por tan θ/2
Obrigado pela ajuda!
Tentei um caminho alternativo como segue que me parece mais simples:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3(\frac{2t}{1+t^2})-4(\frac{1-t^2}{1+t^2})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{2dt}{6t-4t+4t^2}dx=\int\limits_{}^{}\frac{2dt}{2(2t^2+3t-2)}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dt}{t^2+\frac{3}{2}t-1}dx[/tex3]
A partir deste ponto tenho dificuldade na etapa de completar quadrados e prosseguir na resolução da integral.
Tentei um caminho alternativo como segue que me parece mais simples:
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3(\frac{2t}{1+t^2})-4(\frac{1-t^2}{1+t^2})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{2dt}{6t-4t+4t^2}dx=\int\limits_{}^{}\frac{2dt}{2(2t^2+3t-2)}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dt}{t^2+\frac{3}{2}t-1}dx[/tex3]
A partir deste ponto tenho dificuldade na etapa de completar quadrados e prosseguir na resolução da integral.
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Jul 2017
10
20:02
Re: Cálculo I - Integração por Substituição por tan θ/2
Vamos fazer o estudo da integral [tex3]\int\frac{1}{ax^2+bx+c}dx[/tex3]
CASO 1:
O denominador tem duas raízes reais [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] . Então é feito o seguinte
[tex3]\int \frac{dx}{a(x-\alpha)(x-\beta)}=\int\frac{A}{a(x-\alpha)}+\frac{B}{a(x-\beta)}~dx=\frac{A}{p}\ln(px+q)+\frac{B}{g}\ln(f+gx)+C[/tex3] .
Você deverá achar A e B montando um sistema.
CASO 2: Há duas raízes repetidas. Então seja essa raíz [tex3]\gamma[/tex3] .
[tex3]\int \frac{dx}{a(x-\gamma)^2}=-\frac{1}{a(x-\gamma)}+C[/tex3]
CASO 3: as raízes são imaginárias. Nesse caso, veja o seguinte:
[tex3]ax^2+bx+c=0\\
b^2-4ac<0\\
b^2<4ac\\
\frac{b^2}{4ac}<1\\
\frac{b}{ac\sqrt{2}}<1[/tex3]
Agora como o cosseno de um ângulo qualquer não passa de um então tome [tex3]\frac{b}{2\sqrt{ac}}=\cos\theta\to b=2\sqrt{ac}\cos\theta[/tex3] . Seu quadrático se transforma em:
[tex3]ax^2+bx+c=ax^2-2x\sqrt{ac}\cos \theta+c[/tex3]
Agora faça [tex3]\sqrt{ac}=-\alpha\beta[/tex3] , [tex3]a=\alpha^2[/tex3] e [tex3]c=\beta^2[/tex3]
[tex3]ax^2-2x\sqrt{ac}\cos \theta+c=\alpha^2x^2-2\alpha\beta x\cos\theta+\beta^2[/tex3]
Veja que o coeficiente do termo x agora é negativo. Não muda nada efetivamente, só deixa as raízes mais bonitas.
Temos a seguinte integral agora:
[tex3]\int \frac{dx}{\alpha^2x^2-2\alpha\beta x\cos\theta+\beta^2}[/tex3]
Ao completar o quadrado:
[tex3]\int \frac{dx}{(\alpha x-\beta \cos\theta)+\beta^2\sen^2\theta}[/tex3]
Fazendo [tex3]u\beta\sen\theta=\alpha x-\beta\cos\theta\to \beta\sen\theta ~du=\alpha~ dx[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\alpha}\int \frac{\beta\sen\theta ~du}{u^2\beta^2\sen^2\theta+\beta^2\sen^2\theta}=\frac{1}{\alpha\beta\sen\theta}\int\frac{du}{1+u^2}[/tex3]
E o resto é trivial...
CASO 1:
O denominador tem duas raízes reais [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] . Então é feito o seguinte
[tex3]\int \frac{dx}{a(x-\alpha)(x-\beta)}=\int\frac{A}{a(x-\alpha)}+\frac{B}{a(x-\beta)}~dx=\frac{A}{p}\ln(px+q)+\frac{B}{g}\ln(f+gx)+C[/tex3] .
Você deverá achar A e B montando um sistema.
CASO 2: Há duas raízes repetidas. Então seja essa raíz [tex3]\gamma[/tex3] .
[tex3]\int \frac{dx}{a(x-\gamma)^2}=-\frac{1}{a(x-\gamma)}+C[/tex3]
CASO 3: as raízes são imaginárias. Nesse caso, veja o seguinte:
[tex3]ax^2+bx+c=0\\
b^2-4ac<0\\
b^2<4ac\\
\frac{b^2}{4ac}<1\\
\frac{b}{ac\sqrt{2}}<1[/tex3]
Agora como o cosseno de um ângulo qualquer não passa de um então tome [tex3]\frac{b}{2\sqrt{ac}}=\cos\theta\to b=2\sqrt{ac}\cos\theta[/tex3] . Seu quadrático se transforma em:
[tex3]ax^2+bx+c=ax^2-2x\sqrt{ac}\cos \theta+c[/tex3]
Agora faça [tex3]\sqrt{ac}=-\alpha\beta[/tex3] , [tex3]a=\alpha^2[/tex3] e [tex3]c=\beta^2[/tex3]
[tex3]ax^2-2x\sqrt{ac}\cos \theta+c=\alpha^2x^2-2\alpha\beta x\cos\theta+\beta^2[/tex3]
Veja que o coeficiente do termo x agora é negativo. Não muda nada efetivamente, só deixa as raízes mais bonitas.
Temos a seguinte integral agora:
[tex3]\int \frac{dx}{\alpha^2x^2-2\alpha\beta x\cos\theta+\beta^2}[/tex3]
Ao completar o quadrado:
[tex3]\int \frac{dx}{(\alpha x-\beta \cos\theta)+\beta^2\sen^2\theta}[/tex3]
Fazendo [tex3]u\beta\sen\theta=\alpha x-\beta\cos\theta\to \beta\sen\theta ~du=\alpha~ dx[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\alpha}\int \frac{\beta\sen\theta ~du}{u^2\beta^2\sen^2\theta+\beta^2\sen^2\theta}=\frac{1}{\alpha\beta\sen\theta}\int\frac{du}{1+u^2}[/tex3]
E o resto é trivial...
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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