Ensino Superior ⇒ Base de Espaço Vetorial Tópico resolvido

[IgorAM]

Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
w={(x,y,z) € R³ / 2x + y + z = 0}

[mateusITA]

Seja [tex3]A=(a,b,c)[/tex3]

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[tex3]A=(a,b,c)[/tex3]

um elemento qualquer de W com [tex3]a, b,c \in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]a, b,c \in \mathbb{R}[/tex3]

. Então,

[tex3](a,b,c)=(a,b,-2a-b)=(a,0,-2a)+(0,b,-b)=a\cdot (1,0,-2)+b\cdot (0,1,-1)[/tex3]

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[tex3](a,b,c)=(a,b,-2a-b)=(a,0,-2a)+(0,b,-b)=a\cdot (1,0,-2)+b\cdot (0,1,-1)[/tex3]

Os vetores [tex3](1,0,-2)[/tex3]

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[tex3](1,0,-2)[/tex3]

e [tex3](0,1,-1)[/tex3]

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[tex3](0,1,-1)[/tex3]

formam uma base para W. Logo, a dimensão de W é 2.

[IgorAM]

Obrigado pela resposta mateusITA. Eu fiz de forma diferente e não entendo porque não bate com o resultado. Fiz assim:

2x + y + z = 0
Então:
y = -2x - z
z = -2x - y

(x,y,z) = (x,-2x - z, -2x-y) = (x, -2x, -2x) + (0, -z, 0) + (0, 0, -y) → x(1,-2,-2) + z(0,-1,0) + y(0, 0, -1)

Portanto os vetores (1, -2, -2); (0, -1, 0); (0, 0, -1) seriam a base de W. Mas esse não é o gabarito. Não entendo também porque foi necessário somente dois vetores para dar origem a um espaço vetorial no R³, porque como está no R³ eu pensei que seriam 3 dimensões e que seria necessário 3 vetores. Estou com essas duvidas, poderia me ajudar?