Verificar convergencia de seguinte série por meio do teste de D'Alambert.
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Convergencia de série por meio do teste de D'Alambert.
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2017
19
20:58
Convergencia de série por meio do teste de D'Alambert.
Editado pela última vez por GustavoF em 19 Jun 2017, 20:58, em um total de 1 vez.
-
- Mensagens: 262
- Registrado em: 03 Out 2014, 18:29
- Última visita: 24-07-21
- Localização: Brasília
- Agradeceram: 193 vezes
Jun 2017
28
15:54
Re: Convergencia de série por meio do teste de D'Alambert.
Seja [tex3]a_{n}=\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{3n\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+1}}=3>0[/tex3]
Então, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}[/tex3] converge se e somente se [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } b_{n}[/tex3] converge.
Mas, pelo teste da comparação com a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}[/tex3] , é imediato que a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] diverge uma vez que:
[tex3]\frac{1}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] para todo [tex3]n\geq1[/tex3]
Logo, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3] diverge.
Obs: Em geral, tem-se que [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}[/tex3] converge se e apenas se [tex3]s>1[/tex3] o que pode ser demonstrado pelo teste da integral.
O teste da razão (D'Lambert) nesse caso é inconclusivo pois o limite [tex3]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/tex3] é igual a 1.
e [tex3]b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3]
os termos de duas séries. Note que [tex3]a_{n}>0[/tex3]
, [tex3]b_{n}>0[/tex3]
para [tex3]n\geq1[/tex3]
, então o teste do limite é aplicável.[tex3]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{3n\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+1}}=3>0[/tex3]
Então, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}[/tex3] converge se e somente se [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } b_{n}[/tex3] converge.
Mas, pelo teste da comparação com a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}[/tex3] , é imediato que a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] diverge uma vez que:
[tex3]\frac{1}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] para todo [tex3]n\geq1[/tex3]
Logo, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3] diverge.
Obs: Em geral, tem-se que [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}[/tex3] converge se e apenas se [tex3]s>1[/tex3] o que pode ser demonstrado pelo teste da integral.
O teste da razão (D'Lambert) nesse caso é inconclusivo pois o limite [tex3]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/tex3] é igual a 1.
Editado pela última vez por mateusITA em 28 Jun 2017, 15:54, em um total de 4 vezes.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 5 Respostas
- 1521 Exibições
-
Última mensagem por undefinied3
-
- 3 Respostas
- 969 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 764 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 753 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 8 Respostas
- 508 Exibições
-
Última mensagem por DudaS