Ensino SuperiorConvergencia de série por meio do teste de D'Alambert.

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GustavoF
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Jun 2017 19 20:58

Convergencia de série por meio do teste de D'Alambert.

Mensagem não lida por GustavoF » Seg 19 Jun, 2017 20:58

Verificar convergencia de seguinte série por meio do teste de D'Alambert.
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }[/tex3] [tex3]\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3]

Última edição: GustavoF (Seg 19 Jun, 2017 20:58). Total de 1 vez.



mateusITA
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Jun 2017 28 15:54

Re: Convergencia de série por meio do teste de D'Alambert.

Mensagem não lida por mateusITA » Qua 28 Jun, 2017 15:54

Seja [tex3]a_{n}=\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3] e [tex3]b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] os termos de duas séries. Note que [tex3]a_{n}>0[/tex3] , [tex3]b_{n}>0[/tex3] para [tex3]n\geq1[/tex3] , então o teste do limite é aplicável.

[tex3]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{3n\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+1}}=3>0[/tex3]

Então, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}[/tex3] converge se e somente se [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } b_{n}[/tex3] converge.

Mas, pelo teste da comparação com a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}[/tex3] , é imediato que a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] diverge uma vez que:

[tex3]\frac{1}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex3] para todo [tex3]n\geq1[/tex3]

Logo, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}[/tex3] diverge.

Obs: Em geral, tem-se que [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}[/tex3] converge se e apenas se [tex3]s>1[/tex3] o que pode ser demonstrado pelo teste da integral.

O teste da razão (D'Lambert) nesse caso é inconclusivo pois o limite [tex3]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/tex3] é igual a 1.

Última edição: mateusITA (Qua 28 Jun, 2017 15:54). Total de 4 vezes.



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