Boa noite.
Dados u = (1, 1, 1) e v = (0, 1, 2), ache uma base ortonormal positiva (a, b, c) tal que:
1. a II u, a tem mesmo sentido que u;
2. b é combinação linear de u e v, e sua primeira coordenada é positiva.
Gabarito:
a = (1/[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
, 1/[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
, 1/[tex3]\sqrt{3}[/tex3]
)
b = 1/[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
(1, 0, -1)
c = a [tex3]\wedge b[/tex3]
/II a [tex3]\wedge b[/tex3]
II= (-1/[tex3]\sqrt{6}[/tex3]
, 2/[tex3]\sqrt{6}[/tex3]
, - 1/[tex3]\sqrt{6}[/tex3]
)
Muito obrigado.
Ensino Superior ⇒ Geometria analítica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2017
15
21:55
Geometria analítica
Última edição: Renovaes (Qui 15 Jun, 2017 21:55). Total de 2 vezes.
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Cardoso1979 
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Mai 2020
24
17:56
Re: Geometria analítica
Observe
Uma resolução:
Como [tex3]\vec{a}[/tex3] é paralelo a [tex3]\vec{u}[/tex3] , temos que
[tex3]\vec{a}=\lambda .(1,1,1),\lambda > 0[/tex3] .
Por sua vez, a partir da segunda condição obtemos
[tex3]\vec{b}=\alpha .(1,1,1)+\beta .(0,1,2) \ , \ \alpha >0[/tex3] .
Além disso, como [tex3]||\vec{a}||=1[/tex3] , temos que [tex3]\sqrt{3\lambda ^2}=1[/tex3] . Consequentemente, [tex3]\lambda =\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3] . Adicionalmente, se [tex3]b = (e_{1},e_{2},e_{3}) \ , \ e_{1} > 0,[/tex3] temos que
[tex3]\vec{a}.\vec{b}=0[/tex3] → [tex3]
\frac{1}{\sqrt{3}}.(e_{1},e_{2},e_{3})=0, [/tex3] → [tex3]\frac{1}{\sqrt{3}}.(\alpha +\alpha +\beta +\alpha +2\beta )=0, [/tex3] → [tex3]\frac{1}{\sqrt{3}}.(3\alpha +3\beta )=0, [/tex3] → [tex3]\alpha =-\beta [/tex3] .
[tex3]||\vec{b}||=1[/tex3] →
[tex3]\sqrt{e^2_{1}+e^2_{2}+e^2_{3}}=1,[/tex3] →
[tex3]\alpha^2+(\alpha +\beta )^2+(\alpha +2\beta )^2=1, [/tex3] →
[tex3]2\alpha ^2=1,[/tex3] →
[tex3]\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}.[/tex3]
Logo,
[tex3]\vec{b}=\frac{1}{\sqrt{2}}.(1,1,1)-\frac{1}{\sqrt{2}}.(0,1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}.(1,0,-1).[/tex3]
Sabemos que, se [tex3]\vec{a}[/tex3] e [tex3]\vec{b}[/tex3] são LI, [tex3](\vec{a} , \vec{b} , \vec{a}\wedge \vec{b})[/tex3] é uma base positiva. Então, seja [tex3]\vec{c}=\vec{a}\wedge \vec{b}.[/tex3] Temos que
[tex3]\vec{c}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{2}}.\left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1
\end{array} \right|[/tex3]
[tex3]\vec{c}=\frac{1}{\sqrt{6}}.\left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1
\end{array} \right|.[/tex3]
Sendo assim, [tex3]\vec{c}=\frac{1}{\sqrt{6}}.(-\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}). [/tex3] Ou seja , [tex3]\vec{c}=\frac{1}{\sqrt{6}}.(-1,2,-1).[/tex3]
Note que, [tex3]||\vec{c}||=1[/tex3] e [tex3]\vec{c}[/tex3] é ortogonal a [tex3]\vec{a}[/tex3] e a [tex3]\vec{b}[/tex3] . Como [tex3]\vec{a}.\vec{b}=0[/tex3] , temos que [tex3](\vec{a},\vec{b},\vec{c})[/tex3] é uma base ortonormal positiva.
Portanto, [tex3]\vec{a}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)[/tex3] , [tex3]\vec{b}=
\frac{1}{\sqrt{2}}.\left(1,0,-1\right)[/tex3] e [tex3]\vec{c}=\vec{a}\wedge \vec{b}/||\vec{a}\wedge \vec{b}||=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)[/tex3] .
Bons estudos!
Uma resolução:
Como [tex3]\vec{a}[/tex3] é paralelo a [tex3]\vec{u}[/tex3] , temos que
[tex3]\vec{a}=\lambda .(1,1,1),\lambda > 0[/tex3] .
Por sua vez, a partir da segunda condição obtemos
[tex3]\vec{b}=\alpha .(1,1,1)+\beta .(0,1,2) \ , \ \alpha >0[/tex3] .
Além disso, como [tex3]||\vec{a}||=1[/tex3] , temos que [tex3]\sqrt{3\lambda ^2}=1[/tex3] . Consequentemente, [tex3]\lambda =\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3] . Adicionalmente, se [tex3]b = (e_{1},e_{2},e_{3}) \ , \ e_{1} > 0,[/tex3] temos que
[tex3]\vec{a}.\vec{b}=0[/tex3] → [tex3]
\frac{1}{\sqrt{3}}.(e_{1},e_{2},e_{3})=0, [/tex3] → [tex3]\frac{1}{\sqrt{3}}.(\alpha +\alpha +\beta +\alpha +2\beta )=0, [/tex3] → [tex3]\frac{1}{\sqrt{3}}.(3\alpha +3\beta )=0, [/tex3] → [tex3]\alpha =-\beta [/tex3] .
[tex3]||\vec{b}||=1[/tex3] →
[tex3]\sqrt{e^2_{1}+e^2_{2}+e^2_{3}}=1,[/tex3] →
[tex3]\alpha^2+(\alpha +\beta )^2+(\alpha +2\beta )^2=1, [/tex3] →
[tex3]2\alpha ^2=1,[/tex3] →
[tex3]\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}.[/tex3]
Logo,
[tex3]\vec{b}=\frac{1}{\sqrt{2}}.(1,1,1)-\frac{1}{\sqrt{2}}.(0,1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}.(1,0,-1).[/tex3]
Sabemos que, se [tex3]\vec{a}[/tex3] e [tex3]\vec{b}[/tex3] são LI, [tex3](\vec{a} , \vec{b} , \vec{a}\wedge \vec{b})[/tex3] é uma base positiva. Então, seja [tex3]\vec{c}=\vec{a}\wedge \vec{b}.[/tex3] Temos que
[tex3]\vec{c}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{2}}.\left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1
\end{array} \right|[/tex3]
[tex3]\vec{c}=\frac{1}{\sqrt{6}}.\left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1
\end{array} \right|.[/tex3]
Sendo assim, [tex3]\vec{c}=\frac{1}{\sqrt{6}}.(-\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}). [/tex3] Ou seja , [tex3]\vec{c}=\frac{1}{\sqrt{6}}.(-1,2,-1).[/tex3]
Note que, [tex3]||\vec{c}||=1[/tex3] e [tex3]\vec{c}[/tex3] é ortogonal a [tex3]\vec{a}[/tex3] e a [tex3]\vec{b}[/tex3] . Como [tex3]\vec{a}.\vec{b}=0[/tex3] , temos que [tex3](\vec{a},\vec{b},\vec{c})[/tex3] é uma base ortonormal positiva.
Portanto, [tex3]\vec{a}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)[/tex3] , [tex3]\vec{b}=
\frac{1}{\sqrt{2}}.\left(1,0,-1\right)[/tex3] e [tex3]\vec{c}=\vec{a}\wedge \vec{b}/||\vec{a}\wedge \vec{b}||=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)[/tex3] .
Bons estudos!
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