Ensino Superior ⇒ EDO - Crescimento populacional
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2017
06
19:53
EDO - Crescimento populacional
Uma população de mosquitos em uma certa região aumenta a uma taxa proporcional à população e, na ausência de outros fatores, a população dobra a cada semana. Existem 200.000 mosquitos inicialmente na região, determine a população de mosquitos após 10 semanas.
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Shadowgal99 
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Abr 2020
07
17:43
Re: EDO - Crescimento populacional
Para resolver essa equação precisamos utilizar o crescimento Populacional de Malthus.
[tex3]dP/dt = kt[/tex3]
Resolvendo essa equação diferencial por mudança de variáveis obtemos
[tex3][/tex3]
[tex3]dP/dt = kt[/tex3]
Resolvendo essa equação diferencial por mudança de variáveis obtemos
[tex3][/tex3]
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Shadowgal99
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Abr 2020
07
17:58
Re: EDO - Crescimento populacional
Para resolver essa equação precisamos utilizar o crescimento Populacional de Malthus.
[tex3]dP/dt = kt, k : constante[/tex3]
Resolvendo essa equação diferencial por mudança de variáveis obtemos
[tex3]∫ dP/p = k ∫dt + c [/tex3]
Como [tex3]P[/tex3] é sempre positivo:
[tex3]lnP = kt + c[/tex3]
[tex3]P = e^{kt} e^c[/tex3] , vamos chamar [tex3]e^c[/tex3] de [tex3]P[/tex3] [tex3]0[/tex3].
Então:
[tex3]P = P[/tex3] [tex3]0[/tex3][tex3]e^{kt}[/tex3]
Para acharmos [tex3]k[/tex3] e [tex3]P[/tex3] [tex3]0[/tex3], precisamos resolver o pvi: [tex3]P (0) = 200.000[/tex3] e também sabemos que a população dobra a cada semana, ou seja, [tex3]P[/tex3] [tex3]1 [/tex3][tex3]=2P (0)[/tex3]
[tex3]200000 = P[/tex3] [tex3]0[/tex3][tex3]e^{k0}[/tex3]
[tex3]P[/tex3] [tex3]0[/tex3][tex3]= 200000[/tex3] , ou seja:
[tex3]P = 200.000 e^{kt}[/tex3]
Para acharmos k, precisamos usar a segunda relação:
[tex3]P = 200000 e^t[/tex3]
[tex3]2. 200000 = 200000 e^k[/tex3]
[tex3]e^k = 2[/tex3]
[tex3]k = ln2[/tex3]
Em [tex3]t= 10[/tex3]
[tex3]P = 200000 e^{10ln2}[/tex3]
[tex3]P = 200000. 2^{10}[/tex3]
[tex3]P = 200000 . 1024[/tex3]
[tex3]P (10) = 204800000 [/tex3] mosquitos
[tex3]dP/dt = kt, k : constante[/tex3]
Resolvendo essa equação diferencial por mudança de variáveis obtemos
[tex3]∫ dP/p = k ∫dt + c [/tex3]
Como [tex3]P[/tex3] é sempre positivo:
[tex3]lnP = kt + c[/tex3]
[tex3]P = e^{kt} e^c[/tex3] , vamos chamar [tex3]e^c[/tex3] de [tex3]P[/tex3] [tex3]0[/tex3].
Então:
[tex3]P = P[/tex3] [tex3]0[/tex3][tex3]e^{kt}[/tex3]
Para acharmos [tex3]k[/tex3] e [tex3]P[/tex3] [tex3]0[/tex3], precisamos resolver o pvi: [tex3]P (0) = 200.000[/tex3] e também sabemos que a população dobra a cada semana, ou seja, [tex3]P[/tex3] [tex3]1 [/tex3][tex3]=2P (0)[/tex3]
[tex3]200000 = P[/tex3] [tex3]0[/tex3][tex3]e^{k0}[/tex3]
[tex3]P[/tex3] [tex3]0[/tex3][tex3]= 200000[/tex3] , ou seja:
[tex3]P = 200.000 e^{kt}[/tex3]
Para acharmos k, precisamos usar a segunda relação:
[tex3]P = 200000 e^t[/tex3]
[tex3]2. 200000 = 200000 e^k[/tex3]
[tex3]e^k = 2[/tex3]
[tex3]k = ln2[/tex3]
Em [tex3]t= 10[/tex3]
[tex3]P = 200000 e^{10ln2}[/tex3]
[tex3]P = 200000. 2^{10}[/tex3]
[tex3]P = 200000 . 1024[/tex3]
[tex3]P (10) = 204800000 [/tex3] mosquitos
Última edição: Shadowgal99 (Ter 07 Abr, 2020 20:02). Total de 1 vez.
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Shadowgal99
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Abr 2020
07
17:59
Re: EDO - Crescimento populacional
Espero ter ajudado, bons estudos
Última edição: Shadowgal99 (Ter 07 Abr, 2020 20:03). Total de 1 vez.
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