Ensino Superior ⇒ Soma Infinita Tópico resolvido

[Andre13000]

Determine S.

[tex3]S=\sum_{k=1}^\infty\arctan\left(\frac{2}{k^2}\right)[/tex3]

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[tex3]S=\sum_{k=1}^\infty\arctan\left(\frac{2}{k^2}\right)[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]atan(a)\pm atan(b)=atan(\frac{a\pm b}{1\mp ab})[/tex3]

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[tex3]atan(a)\pm atan(b)=atan(\frac{a\pm b}{1\mp ab})[/tex3]

[tex3]atan(\frac{2}{k^2})=atan(k+1)-atan(k-1)[/tex3]

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[tex3]atan(\frac{2}{k^2})=atan(k+1)-atan(k-1)[/tex3]

EDIT: Fiz rapido demais e escrevi errado. Esqueci que tem uma restriçãozinha no intervalo do arctg, o ângulo tem que ser menor que [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3]

se não me engano, tem um trabalhinho a mais pra fazer ainda.

[tex3]S=atan(2)-atan(0)+atan(3)-atan(1)+atan(4)-atan(2)+atan(5)-atan(3)+...[/tex3]

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[tex3]S=atan(2)-atan(0)+atan(3)-atan(1)+atan(4)-atan(2)+atan(5)-atan(3)+...[/tex3]

[tex3]S=\lim_{n\rightarrow \infty} atan(n)-atan(1)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}[/tex3]

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[tex3]S=\lim_{n\rightarrow \infty} atan(n)-atan(1)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}[/tex3]

Mas a resposta não tá batendo. Não sei o que errei :/

EDIT2: To tentando entender como essa telescópica funciona no infinito. Sobraria
[tex3]S=\lim_{n\rightarrow \infty} atan(n)-atan(1)[/tex3]

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[tex3]S=\lim_{n\rightarrow \infty} atan(n)-atan(1)[/tex3]

Ou na verdade
[tex3]S=\lim_{n\rightarrow \infty} atan(n+1)+atan(n)-atan(1)[/tex3]

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[tex3]S=\lim_{n\rightarrow \infty} atan(n+1)+atan(n)-atan(1)[/tex3]

Se for o último, aí bate a resposta. Deve ser isso, mas não entendo direito por que já que a soma é infinita. Mesmo sendo infinita, sobra dois termos alem do atan(1)?

[Andre13000]

Me baseando na sua identidade, tomando [tex3]a=n+1[/tex3]

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[tex3]a=n+1[/tex3]

e [tex3]b=n-1[/tex3]

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[tex3]b=n-1[/tex3]

, fica:

[tex3]\arctan(n+1)-\arctan(n-1)=\arctan\frac{2}{n^2}\\
\sum_{k=1}^n\arctan \frac{2}{n^2}=\sum_{k=1}^n\arctan (n+1)-\arctan(n-1)=-\arctan1+\arctan(n+1)+\arctan(n)\\
=\lim_{n\to\infty}-\arctan1+\arctan(n+1)+\arctan(n)=\frac{3\pi}{4}[/tex3]

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[tex3]\arctan(n+1)-\arctan(n-1)=\arctan\frac{2}{n^2}\\
\sum_{k=1}^n\arctan \frac{2}{n^2}=\sum_{k=1}^n\arctan (n+1)-\arctan(n-1)=-\arctan1+\arctan(n+1)+\arctan(n)\\
=\lim_{n\to\infty}-\arctan1+\arctan(n+1)+\arctan(n)=\frac{3\pi}{4}[/tex3]

Não entendi por que você omitiu o termo , mas valeu aí!!

[undefinied3]

É eu só me toquei agora. Resolver questoes quando sao quase duas da manhã danifica o cérebro.