Ensino Superior ⇒ Quadrilatero Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2017
06
15:55
Quadrilatero
Demonstre que a soma dos lados opostos de um Quadrilatero ABCD CIRCUNSCRITO a uma circunferencia, e igual a soma dos outros lados opostos
Última edição: Ronny (Dom 07 Mai, 2017 00:55). Total de 1 vez.
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Mai 2020
01
14:49
Re: Quadrilatero
Observe
Uma demonstração:
Primeiramente, iremos considerar o seguinte teorema:
Se conduzirmos por um ponto P os segmentos [tex3]\overline{PA}[/tex3] e [tex3]\overline{PB}[/tex3] , ambos tangentes a uma circunferência λ, em A e B respectivamente, então [tex3]\overline{PA}[/tex3] é congruente a [tex3]\overline{PB}[/tex3] :
[tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3] (1)
Por hipótese temos que [tex3]\overline{PA}[/tex3] e [tex3]\overline{PB}[/tex3] são tangentes a λ, sendo A e B ∈ λ. De modo que temos [tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3] .
Observando a figura acima, nota-se que os triângulos △PAO e △PBO são congruente, já que compartilham a mesma hipotenusa e um de seus catetos possuem a mesma medida, que são iguais ao raio da circunferência λ. Assim, [tex3]\overline{OP}[/tex3] é a hipotenusa de cada triângulo e [tex3]\overline{OA}≡
\overline{OB}[/tex3] são os catetos:
△PAO ≡ △PBO ⟹ [tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3] .
Essa demonstração servirá de auxílio para o que o nosso exercício está pedindo!
Suponha que o quadrilátero ABCD seja circunscrito a uma circunferência,
e os pontos de tangência da circunferência com os lados sejam E, F, G, H, como mostra a
figura abaixo.
Pelo teorema anterior, vemos que: AH = AE ; BE = BF ; CF = CG ; GD = HD.
Portanto, AE + BE + CG + GD = BF + CF + HD + AH, isto implica dizer que: AB + CD = BC + AD. C.q.d.
Bons estudos!
Uma demonstração:
Primeiramente, iremos considerar o seguinte teorema:
Se conduzirmos por um ponto P os segmentos [tex3]\overline{PA}[/tex3] e [tex3]\overline{PB}[/tex3] , ambos tangentes a uma circunferência λ, em A e B respectivamente, então [tex3]\overline{PA}[/tex3] é congruente a [tex3]\overline{PB}[/tex3] :
[tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3] (1)
Por hipótese temos que [tex3]\overline{PA}[/tex3] e [tex3]\overline{PB}[/tex3] são tangentes a λ, sendo A e B ∈ λ. De modo que temos [tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3] .
Observando a figura acima, nota-se que os triângulos △PAO e △PBO são congruente, já que compartilham a mesma hipotenusa e um de seus catetos possuem a mesma medida, que são iguais ao raio da circunferência λ. Assim, [tex3]\overline{OP}[/tex3] é a hipotenusa de cada triângulo e [tex3]\overline{OA}≡
\overline{OB}[/tex3] são os catetos:
△PAO ≡ △PBO ⟹ [tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3] .
Essa demonstração servirá de auxílio para o que o nosso exercício está pedindo!
Suponha que o quadrilátero ABCD seja circunscrito a uma circunferência,
e os pontos de tangência da circunferência com os lados sejam E, F, G, H, como mostra a
figura abaixo.
Pelo teorema anterior, vemos que: AH = AE ; BE = BF ; CF = CG ; GD = HD.
Portanto, AE + BE + CG + GD = BF + CF + HD + AH, isto implica dizer que: AB + CD = BC + AD. C.q.d.
Bons estudos!
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