Ensino Superior ⇒ Quadrilatero Tópico resolvido

[Ronny]

Demonstre que a soma dos lados opostos de um Quadrilatero ABCD CIRCUNSCRITO a uma circunferencia, e igual a soma dos outros lados opostos

[Cardoso1979]

Observe

Uma demonstração:

Primeiramente, iremos considerar o seguinte teorema:

Se conduzirmos por um ponto P os segmentos [tex3]\overline{PA}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PA}[/tex3]

e [tex3]\overline{PB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PB}[/tex3]

, ambos tangentes a uma circunferência λ, em A e B respectivamente, então [tex3]\overline{PA}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PA}[/tex3]

é congruente a [tex3]\overline{PB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PB}[/tex3]

:
[tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3]

(1)


Por hipótese temos que [tex3]\overline{PA}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PA}[/tex3]

e [tex3]\overline{PB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PB}[/tex3]

são tangentes a λ, sendo A e B ∈ λ. De modo que temos [tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3]

.

fig1 - segmentos tangentes.png (17.8 KiB) Exibido 295 vezes

Observando a figura acima, nota-se que os triângulos △PAO e △PBO são congruente, já que compartilham a mesma hipotenusa e um de seus catetos possuem a mesma medida, que são iguais ao raio da circunferência λ. Assim, [tex3]\overline{OP}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{OP}[/tex3]

é a hipotenusa de cada triângulo e [tex3]\overline{OA}≡
\overline{OB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{OA}≡
\overline{OB}[/tex3]

são os catetos:
△PAO ≡ △PBO ⟹ [tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PA}≡\overline{PB}[/tex3]

.

Essa demonstração servirá de auxílio para o que o nosso exercício está pedindo!


Suponha que o quadrilátero ABCD seja circunscrito a uma circunferência,
e os pontos de tangência da circunferência com os lados sejam E, F, G, H, como mostra a
figura abaixo.

IMG_20200501_143640025.jpg (257.31 KiB) Exibido 295 vezes

Pelo teorema anterior, vemos que: AH = AE ; BE = BF ; CF = CG ; GD = HD.
Portanto, AE + BE + CG + GD = BF + CF + HD + AH, isto implica dizer que: AB + CD = BC + AD. C.q.d.




Bons estudos!