Prove analiticamente(isto é,sem usar um raciocínio geométrico)que não existe uma reta que passe pelo ponto (1,-2) e seja tangente à curva
[tex3]y=x^{2}-4[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Derivadas Tópico resolvido
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Abr 2017
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Re: Derivadas
[tex3]y = x^2 - 4 \therefore \frac{dy}{dx} = 2x[/tex3]
Eq da reta:
[tex3]y - y_0 = m(x-x_0 )[/tex3] onde [tex3]m = 2x_0[/tex3] . Assim, [tex3]y - y_0 = 2x_0 ( x - x_0 ) = 2xx_0 - 2x_0^2[/tex3] , ou seja,
[tex3]y = y_0 + 2xx_0 - 2x_0^2[/tex3] . Como [tex3]y_0 = x_0^2 - 4[/tex3] (pois o ponto é comum à reta e à curva), segue que:
[tex3]y = (x_0^2 -4) +2xx_0 -2x_0^2 = 2xx_0 - x_0^2 - 4[/tex3] . Como a reta (teoricamente) passa por (1, -2),
[tex3]-2 = 2x_0 -x_0^2 - 4 \therefore x_0^2 -2x_0 + 2 =0 \Longrightarrow \Delta = 4 - 8 = - 4< 0[/tex3] , ou seja, não há [tex3]x_0[/tex3] que satisfaça as condições dadas. Assim, tal reta não existe.
Eq da reta:
[tex3]y - y_0 = m(x-x_0 )[/tex3] onde [tex3]m = 2x_0[/tex3] . Assim, [tex3]y - y_0 = 2x_0 ( x - x_0 ) = 2xx_0 - 2x_0^2[/tex3] , ou seja,
[tex3]y = y_0 + 2xx_0 - 2x_0^2[/tex3] . Como [tex3]y_0 = x_0^2 - 4[/tex3] (pois o ponto é comum à reta e à curva), segue que:
[tex3]y = (x_0^2 -4) +2xx_0 -2x_0^2 = 2xx_0 - x_0^2 - 4[/tex3] . Como a reta (teoricamente) passa por (1, -2),
[tex3]-2 = 2x_0 -x_0^2 - 4 \therefore x_0^2 -2x_0 + 2 =0 \Longrightarrow \Delta = 4 - 8 = - 4< 0[/tex3] , ou seja, não há [tex3]x_0[/tex3] que satisfaça as condições dadas. Assim, tal reta não existe.
Última edição: LucasPinafi (Dom 30 Abr, 2017 14:57). Total de 1 vez.
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