Boa tarde, eu estou tendo dificuldades com o exercício 9-8 do livro Boulos 3 Edição:
São dadas as bases ortonormais E e F. Determine a e b sabendo que [tex3]\vec{u}[/tex3]
= (1,1,2 [tex3]) _{E}[/tex3]
= (b, a, 1 [tex3]) _{F}[/tex3]
e [tex3]\vec{v}[/tex3]
= (1,2,3 [tex3]) _{E}[/tex3]
= (3,1,2 [tex3]) _{F}[/tex3]
.
Eu não estou conseguindo encontrar a e b. Não bate a com a resposta do livro.. Alguém saberia como resolver este exercício?
Ensino Superior ⇒ Produto escalar entre dois vetores Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2017
28
10:53
Produto escalar entre dois vetores
Última edição: lucasVTD (Sex 28 Abr, 2017 10:53). Total de 1 vez.
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Mai 2020
28
14:38
Re: Produto escalar entre dois vetores
Observe
Eu só não consigo compreender o porquê de você e muitos usuários deste fórum terem( quando se tem óbvio ) o gabarito e não o posta , postando o gabarito fica até mais fácil de você e outros usuários obterem a resposta!
Solução:
Como as duas bases são ortonormais, então
[tex3](a_{1},b_{1},c_{1}).(a_{2},b_{2},c_{2})=a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}+c_{1}.c_{2}[/tex3] .
Além disso, o produto escalar independe da base escolhida , de modo que
[tex3]\vec{u}.\vec{v}=(1,1,2).(1,2,3)=(b,a,1).(3,1,2)[/tex3]
O termo do meio é o produto escalar na base E e o da direita é o produto escalar na base F, sendo assim , temos que:
1 + 2 + 6 = 3b + a + 2
a + 3b = 7
Daí, extraímos que
a = 7 - 3b ( I )
Vamos tirar uma outra equação da norma de [tex3]\vec{u}[/tex3] :
[tex3]||\vec{u}||^2=1^2+1^2+2^2=b^2+a^2+1^2[/tex3]
O termo representa a norma calculada com a base E e o termo da direita com a base F. Assim,
a² + b² = 5 ( I I )
De ( I ) e ( I I ) , temos o seguinte sistema
[tex3]\begin{cases}
a=7-3b \\
a^2+b^2=5
\end{cases}[/tex3]
Substituindo a = 7 - 3b em a² + b² = 5, resulta em
5b² - 21b + 22 = 0
Desenvolvendo, obtemos:
b = 2 → a = 1
Ou
b = 11/5 → a = 2/5.
Bons estudos!
Eu só não consigo compreender o porquê de você e muitos usuários deste fórum terem( quando se tem óbvio ) o gabarito e não o posta , postando o gabarito fica até mais fácil de você e outros usuários obterem a resposta!
Solução:
Como as duas bases são ortonormais, então
[tex3](a_{1},b_{1},c_{1}).(a_{2},b_{2},c_{2})=a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}+c_{1}.c_{2}[/tex3] .
Além disso, o produto escalar independe da base escolhida , de modo que
[tex3]\vec{u}.\vec{v}=(1,1,2).(1,2,3)=(b,a,1).(3,1,2)[/tex3]
O termo do meio é o produto escalar na base E e o da direita é o produto escalar na base F, sendo assim , temos que:
1 + 2 + 6 = 3b + a + 2
a + 3b = 7
Daí, extraímos que
a = 7 - 3b ( I )
Vamos tirar uma outra equação da norma de [tex3]\vec{u}[/tex3] :
[tex3]||\vec{u}||^2=1^2+1^2+2^2=b^2+a^2+1^2[/tex3]
O termo representa a norma calculada com a base E e o termo da direita com a base F. Assim,
a² + b² = 5 ( I I )
De ( I ) e ( I I ) , temos o seguinte sistema
[tex3]\begin{cases}
a=7-3b \\
a^2+b^2=5
\end{cases}[/tex3]
Substituindo a = 7 - 3b em a² + b² = 5, resulta em
5b² - 21b + 22 = 0
Desenvolvendo, obtemos:
b = 2 → a = 1
Ou
b = 11/5 → a = 2/5.
Bons estudos!
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