Boa tarde, não estou conseguido resolver a seguinte equação diferencial de primeira ordem:
[tex3]\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2y+y^3}[/tex3]
O livro (Eq. Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - Boyce/Diprima) sugere que consideremos [tex3]u=x^2[/tex3]
, porém não consegui igualmente. Aguardo uma ajuda.
Desde já, agradeço.
Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais de primeira ordem Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2017
22
16:52
Equações diferenciais de primeira ordem
Última edição: lucasf10 (Sáb 22 Abr, 2017 16:52). Total de 1 vez.
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21:29
Re: Equações diferenciais de primeira ordem
Observe
Solução:
Da equação
[tex3]\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2y+y^3}[/tex3]
Temos que ;
[tex3]\frac{dy}{xdx} = \frac{1}{x^2y+y^3} \ (I )[/tex3]
Por outro lado;
u = x² →
[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{2xdy}{du}→[/tex3]
[tex3]\frac{dy}{xdx}=\frac{2dy}{du}\ ( II )[/tex3]
De ( l ) e ( l l ), vem;
[tex3]\frac{2dy}{du}=\frac{1}{u^2y+y^3}[/tex3]
du = 2uydy + 2y³dy
du - 2uydy = 2y³dy ÷ dy
[tex3]\frac{du}{dy}-2uy=2y^3[/tex3]
u' - 2yu = 2y³
Temos uma equação linear em u( y ), então;
p( y ) = - 2y e g( y ) = 2y³
Daí;
[tex3]\mu (y)=e^{-2\int\limits_{}^{}ydy}[/tex3]
[tex3]\mu (y)=e^{-y^2}[/tex3]
Assim;
[tex3]u=\frac{1}{e^{-y^2}}\int\limits_{}^{}e^{-y^2}2y^3 \ dy[/tex3]
[tex3]u=\frac{1}{e^{-y^2}}\int\limits_{}^{}e^{-y^2}y^22y \ dy[/tex3]
Para resolver a integral acima você utiliza a substituição t = y² → dt = 2ydy , resulta;
[tex3]u=\frac{1}{e^{-y^2}}[-e^{-y^2}(y^2+1)+C][/tex3]
Como u = x², fica;
[tex3]x^2=-(y^2+1)+ \frac{C}{e^{-y^2}}[/tex3]
[tex3]x^2+y^2+1= \frac{C}{e^{-y^2}}[/tex3]
Portanto,
C = ( x² + y² + 1 ).e [tex3]^{-y^2}[/tex3]
Bons estudos para quem pesquisar a solução desta questão!
Solução:
Da equação
[tex3]\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2y+y^3}[/tex3]
Temos que ;
[tex3]\frac{dy}{xdx} = \frac{1}{x^2y+y^3} \ (I )[/tex3]
Por outro lado;
u = x² →
[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{2xdy}{du}→[/tex3]
[tex3]\frac{dy}{xdx}=\frac{2dy}{du}\ ( II )[/tex3]
De ( l ) e ( l l ), vem;
[tex3]\frac{2dy}{du}=\frac{1}{u^2y+y^3}[/tex3]
du = 2uydy + 2y³dy
du - 2uydy = 2y³dy ÷ dy
[tex3]\frac{du}{dy}-2uy=2y^3[/tex3]
u' - 2yu = 2y³
Temos uma equação linear em u( y ), então;
p( y ) = - 2y e g( y ) = 2y³
Daí;
[tex3]\mu (y)=e^{-2\int\limits_{}^{}ydy}[/tex3]
[tex3]\mu (y)=e^{-y^2}[/tex3]
Assim;
[tex3]u=\frac{1}{e^{-y^2}}\int\limits_{}^{}e^{-y^2}2y^3 \ dy[/tex3]
[tex3]u=\frac{1}{e^{-y^2}}\int\limits_{}^{}e^{-y^2}y^22y \ dy[/tex3]
Para resolver a integral acima você utiliza a substituição t = y² → dt = 2ydy , resulta;
[tex3]u=\frac{1}{e^{-y^2}}[-e^{-y^2}(y^2+1)+C][/tex3]
Como u = x², fica;
[tex3]x^2=-(y^2+1)+ \frac{C}{e^{-y^2}}[/tex3]
[tex3]x^2+y^2+1= \frac{C}{e^{-y^2}}[/tex3]
Portanto,
C = ( x² + y² + 1 ).e [tex3]^{-y^2}[/tex3]
Bons estudos para quem pesquisar a solução desta questão!
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