Ensino Superior ⇒ Taxas Relacionadas
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Andre13000 
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Abr 2017
20
15:35
Taxas Relacionadas
Uma bola de neve perde volume à uma taxa proporcional à sua área superficial. Além disso, em três horas, perdeu metade do seu volume inicial. Em quanto tempo a bola de neve derreterá completamente?
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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undefinied3 
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Abr 2017
21
00:15
Re: Taxas Relacionadas
Vejamos...
[tex3]-\frac{dV}{dt}=kS \rightarrow -\frac{4\pi}{3}.\frac{dR^3}{dt}=4k\pi R^2[/tex3]
[tex3]-\frac{4\pi}{3}3R^2.\dot R=4k\pi R^2 \rightarrow \dot R=-k[/tex3]
[tex3]\therefore R(t)=-kt+R_0[/tex3]
[tex3]\frac{R_0}{2}=R_0-3k \rightarrow k=\frac{R_0}{6}[/tex3]
[tex3]0=-\frac{R_0}{6}t+R_0 \rightarrow t=6[/tex3]
Você tem gabarito? Não me parece estar errado, mas...
[tex3]-\frac{dV}{dt}=kS \rightarrow -\frac{4\pi}{3}.\frac{dR^3}{dt}=4k\pi R^2[/tex3]
[tex3]-\frac{4\pi}{3}3R^2.\dot R=4k\pi R^2 \rightarrow \dot R=-k[/tex3]
[tex3]\therefore R(t)=-kt+R_0[/tex3]
[tex3]\frac{R_0}{2}=R_0-3k \rightarrow k=\frac{R_0}{6}[/tex3]
[tex3]0=-\frac{R_0}{6}t+R_0 \rightarrow t=6[/tex3]
Você tem gabarito? Não me parece estar errado, mas...
Última edição: undefinied3 (Sex 21 Abr, 2017 00:15). Total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Andre13000
- Mensagens: 847
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- Última visita: 02-03-22
Abr 2017
21
09:16
Re: Taxas Relacionadas
11,5h
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
Jan 2023
31
21:19
Re: Taxas Relacionadas
Não vi a resposta certa dessa questão em lugar algum, portanto deixarei a minha aqui.
Pelo enunciado da questão, deduzimos que [tex3]\exists a> 0(\frac{dV}{dt}=-aS)[/tex3] , e a partir daí, chegaremos em uma fórmula fechada para V(t).Um erro que eu cometi,para tentar solucionar V(t), foi expressar S em termos de V na forma [tex3]S=3V/r[/tex3] , porém, isso é um equívoco, pois r é uma grandeza que também esta variando quando o volume da bola de neve diminui, e não uma constante...A forma certa é expressar [tex3]S=4\pi V^{2/3}(\frac{3}{4\pi })^{2/3} [/tex3] , agora sim S esta em função de V apenas multiplicada por constantes. E teremos agora que [tex3]\exists a> 0(\frac{dV}{dt}=-a4\pi V^{2/3}(\frac{3}{4\pi })^{2/3})[/tex3] tomando [tex3]k=-a4\pi (\frac{3}{4\pi })^{2/3}[/tex3] ,teremos então [tex3]\frac{dV}{dt}=-kV^{2/3}[/tex3] , resolvendo a equação diferencial( variáveis separáveis) , teremos que [tex3]V(t)=\frac{(-kt+C)^{3}}{27}[/tex3] , e queremos saber para qual valor t, V(t)=0. Temos duas constantes a determinar, k e C, logo, precisamos de dois valores de V(t) para os determinar, o primeiro é o que a questão dá, [tex3]V(3)=\frac{4\pi r^{3}}{6}[/tex3] ,e a outra é o fato de que o volume inicial é quando t=0, [tex3]V(0)=\frac{4\pi r^{3}}{3}[/tex3] , facilmente podemos descobrir os valores de k e C( fácil, pórem com um pouco de contas) e teremos que [tex3]C=r\sqrt[3]{36\pi}[/tex3] e [tex3]k=\frac{r\sqrt[3]{18\pi}(\sqrt[3]{2}-1)}{3}[/tex3] , logo, [tex3](-\frac{tr\sqrt[3]{18\pi}(\sqrt[3]{2}-1)}{3}+r\sqrt[3]{36\pi})^{3}=0\rightarrow -t(\sqrt[3]{2}-1)+3\sqrt[3]{2}=0\rightarrow t=\frac{3\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{2}-1)} [/tex3] , e como já se passaram 3 horas então restam [tex3]\frac{3\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{2}-1)}-3[/tex3] horas, e concluímos que a resposta é [tex3]\frac{3}{(\sqrt[3]{2}-1)}[/tex3] horas.
Pelo enunciado da questão, deduzimos que [tex3]\exists a> 0(\frac{dV}{dt}=-aS)[/tex3] , e a partir daí, chegaremos em uma fórmula fechada para V(t).Um erro que eu cometi,para tentar solucionar V(t), foi expressar S em termos de V na forma [tex3]S=3V/r[/tex3] , porém, isso é um equívoco, pois r é uma grandeza que também esta variando quando o volume da bola de neve diminui, e não uma constante...A forma certa é expressar [tex3]S=4\pi V^{2/3}(\frac{3}{4\pi })^{2/3} [/tex3] , agora sim S esta em função de V apenas multiplicada por constantes. E teremos agora que [tex3]\exists a> 0(\frac{dV}{dt}=-a4\pi V^{2/3}(\frac{3}{4\pi })^{2/3})[/tex3] tomando [tex3]k=-a4\pi (\frac{3}{4\pi })^{2/3}[/tex3] ,teremos então [tex3]\frac{dV}{dt}=-kV^{2/3}[/tex3] , resolvendo a equação diferencial( variáveis separáveis) , teremos que [tex3]V(t)=\frac{(-kt+C)^{3}}{27}[/tex3] , e queremos saber para qual valor t, V(t)=0. Temos duas constantes a determinar, k e C, logo, precisamos de dois valores de V(t) para os determinar, o primeiro é o que a questão dá, [tex3]V(3)=\frac{4\pi r^{3}}{6}[/tex3] ,e a outra é o fato de que o volume inicial é quando t=0, [tex3]V(0)=\frac{4\pi r^{3}}{3}[/tex3] , facilmente podemos descobrir os valores de k e C( fácil, pórem com um pouco de contas) e teremos que [tex3]C=r\sqrt[3]{36\pi}[/tex3] e [tex3]k=\frac{r\sqrt[3]{18\pi}(\sqrt[3]{2}-1)}{3}[/tex3] , logo, [tex3](-\frac{tr\sqrt[3]{18\pi}(\sqrt[3]{2}-1)}{3}+r\sqrt[3]{36\pi})^{3}=0\rightarrow -t(\sqrt[3]{2}-1)+3\sqrt[3]{2}=0\rightarrow t=\frac{3\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{2}-1)} [/tex3] , e como já se passaram 3 horas então restam [tex3]\frac{3\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{2}-1)}-3[/tex3] horas, e concluímos que a resposta é [tex3]\frac{3}{(\sqrt[3]{2}-1)}[/tex3] horas.
Última edição: Zael (Ter 31 Jan, 2023 21:21). Total de 1 vez.
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