Ensino Superior ⇒ Integrais - Volume por Rotação Tópico resolvido

[maths]

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x - x² e y = 0 em volta da reta x = 2.

[Cardoso1979]

Observe:

Solução

Calculando os limites de integração, temos:
x² - x = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

x.( x - 1 ) = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

x = 0 ou x = 1, daí;

V = [tex3]2π\int\limits_{a}^{b}( x - k ).[ f(x)
- g(x) ]dx [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2π\int\limits_{a}^{b}( x - k ).[ f(x)
- g(x) ]dx [/tex3]

Onde, k = 2, a = 0 , b = 1, f(x) = x - x² e g(x) = 0.

V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( x - 2 ).( x - x²
- 0 ) dx [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( x - 2 ).( x - x²
- 0 ) dx [/tex3]

V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( 3x² - x³ - 2x ) dx [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( 3x² - x³ - 2x ) dx [/tex3]

V = [tex3]2π( 1³ - \frac{1^{4}}{4} - 1² ) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2π( 1³ - \frac{1^{4}}{4} - 1² ) [/tex3]

V = [tex3]2π( -\frac{1^{}}{4} )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2π( -\frac{1^{}}{4} )[/tex3]

V = [tex3]( -\frac{π}{2} )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]( -\frac{π}{2} )[/tex3]

Tomando o valor absoluto, temos;

V = [tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{π}{2}[/tex3]

Portanto, o volume procurado é V = [tex3]\frac{π}{2}u.v[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{π}{2}u.v[/tex3]

Esboço:

15171798068011123500032.jpg (63.64 KiB) Exibido 652 vezes

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Bons estudos!!