Ensino Superior ⇒ Força Variável com o tempo Tópico resolvido

[leomenor]

Uma partícula de massa 10 kg desloca-se num plano, impulsionada por uma força variável com o
tempo, de acordo com a lei de formação F=100sent newtons. Sobre a partícula ainda atua uma
força de atrito Fa=10 v newtons, sendo v expresso em m/s e de sentido contrário à velocidade.
Sabendo que quando t = 0s, a partícula encontra-se na origem dos espaçoes (x = 0) e está parada,
calcular:
a) a velocidade da partícula num tempo t qualquer
b) o espaço percorrido no mesmo tempo.

sugestao f=10sen t -10v=m.a

[Andre13000]

[tex3]m=10~kg\\
F=100\sen t~N\\
f_k=10v\\
v_0=0\\
x_0=0\\
v=v_0+\int a ~dt\\
F=ma\\
a=\frac{F}{m}=\frac{100\sen t}{10}=10\sen t\\
v=0+\int\limits_{0}^{t}10\sen t~dt\\
v=-10\cos t+10\\
x=x_0+\int v~dt\\
x=\int\limits_{0}^{t}-10\cos t+10~dt\\
x=\left(-10\sen t+10t\right)-\left(-10\sen 0+10\cdot 0\right)\\
x=10\left(t-\sen t\right)[/tex3]

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[tex3]m=10~kg\\
F=100\sen t~N\\
f_k=10v\\
v_0=0\\
x_0=0\\
v=v_0+\int a ~dt\\
F=ma\\
a=\frac{F}{m}=\frac{100\sen t}{10}=10\sen t\\
v=0+\int\limits_{0}^{t}10\sen t~dt\\
v=-10\cos t+10\\
x=x_0+\int v~dt\\
x=\int\limits_{0}^{t}-10\cos t+10~dt\\
x=\left(-10\sen t+10t\right)-\left(-10\sen 0+10\cdot 0\right)\\
x=10\left(t-\sen t\right)[/tex3]

[undefinied3]

Você só esqueceu da força de resistência, que é o que dá trabalho na questão
a)
[tex3]a=10sen(t)-v \rightarrow \frac{dv}{dt}=10sen(t)-v \rightarrow \frac{dv}{dt}+1.v=10sen(t)[/tex3]

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[tex3]a=10sen(t)-v \rightarrow \frac{dv}{dt}=10sen(t)-v \rightarrow \frac{dv}{dt}+1.v=10sen(t)[/tex3]

Que é uma equação diferencial. Pra resolvê-la, vamos multiplicar pelo fator integrante [tex3]e^{\int 1dt}=e^t[/tex3]

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[tex3]e^{\int 1dt}=e^t[/tex3]

[tex3]e^t \frac{dv}{dt}+e^tv=10e^tsen(t)[/tex3]

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[tex3]e^t \frac{dv}{dt}+e^tv=10e^tsen(t)[/tex3]

Note que surgiu a derivada do produto do lado esquerdo
[tex3]\frac{d(ve^t)}{dt}=10e^tsen(t) \rightarrow d(ve^t)=10e^tsen(t)dt[/tex3]

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[tex3]\frac{d(ve^t)}{dt}=10e^tsen(t) \rightarrow d(ve^t)=10e^tsen(t)dt[/tex3]

Conseguimos separar as variáveis. Agora podemos integrar. Não vou fazer passo a passo, mas se precisar, depois faço.
[tex3]ve^t=5e^t(sen(t)-cos(t))+C[/tex3]

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[tex3]ve^t=5e^t(sen(t)-cos(t))+C[/tex3]

[tex3]\therefore v(t)=5(sen(t)-cos(t))+Ce^{-t}[/tex3]

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[tex3]\therefore v(t)=5(sen(t)-cos(t))+Ce^{-t}[/tex3]

Das condições de contorno, v(0)=0
[tex3]\therefore 0 = 5(0-1)+C \rightarrow C=5[/tex3]

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[tex3]\therefore 0 = 5(0-1)+C \rightarrow C=5[/tex3]

[tex3]\therefore v(t)=5(sen(t)-cos(t)+e^{-t})[/tex3]

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[tex3]\therefore v(t)=5(sen(t)-cos(t)+e^{-t})[/tex3]

b)
[tex3]\frac{dS}{dt}=5(sen(t)-cos(t)+e^{-t}) \rightarrow dS = 5(sen(t)-cos(t)+e^{-t})dt[/tex3]

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[tex3]\frac{dS}{dt}=5(sen(t)-cos(t)+e^{-t}) \rightarrow dS = 5(sen(t)-cos(t)+e^{-t})dt[/tex3]

[tex3]S=- 5(sin(t) + cos(t)+e^{-t}) + C[/tex3]

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[tex3]S=- 5(sin(t) + cos(t)+e^{-t}) + C[/tex3]

[tex3]S(0)=0 \rightarrow -5(0+1+1)+C=0 \rightarrow C=10[/tex3]

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[tex3]S(0)=0 \rightarrow -5(0+1+1)+C=0 \rightarrow C=10[/tex3]

[tex3]\therefore S(t)=-5(sin(t)+cos(t)+e^{-t})+10[/tex3]

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[tex3]\therefore S(t)=-5(sin(t)+cos(t)+e^{-t})+10[/tex3]

[Andre13000]

Ah meu deus do céu kkkkkkkkkkkkkkkk... foi mal :/