Calcular a integral tripla da função [tex3]f\left(x,y,z\right)=x[/tex3]
sob a região T, onde T é a região simultaneamente interior ao parabolóide [tex3]z=\frac{1}{4}\left(x^{^2}+y^{^2}\right)[/tex3]
e a esfera [tex3]x^{^2}+y^{^2}+z^{^2}=5[/tex3]
.
Tentei fazer por coordenas cilíndricas, mas não consegui.
O gabarito é 0.
Ensino Superior ⇒ Integral tripla
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2018
05
21:03
Re: Integral tripla
Do parabolóide: [tex3]x^2+y^2 = 4z[/tex3]
Substituíndo na equação da esfera, achamos as coordenadas z que ocorre a interseção:
[tex3]4z + z^2 = 5 \rightarrow z=1 \space ou \space z = -5 [/tex3]
Em [tex3]\boxed {z=1}[/tex3] : [tex3]x^2+y^2+(1)^2 = 5 \rightarrow x^2+y^2=4[/tex3] (Região xy)
Variação em:[tex3]0 \leq z \leq \sqrt{5-(x^2+y^2)}[/tex3]
Logo a região T é dada por:
[tex3]T = \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3} / \space -2 \leq x \leq 2, \space -\sqrt{4-x^2} \leq y\leq \sqrt{4-x^2}, \space 0 \leq z \leq \sqrt{5-(x^2+y^2)} \} [/tex3]
Ficando com a integral tripla (chatinha de resolver...):
[tex3]\int\limits_{-2}^{2}\int\limits_{ -\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{5-(x^2+y^2)}} x\space dzdydx[/tex3]
Em coordenadas cilíndricas, fazendo a transformação na região R(T):
[tex3]R(T) = \{ (r,\theta, z) \space /\space 0 \leq r \leq 2, \space \space 0 \leq \theta \leq 2\pi, \space \space 0\leq z \leq \sqrt{5-r^2} \} [/tex3]
Lembrando que:
[tex3]x = r.cos(\theta) \rightarrow f(r.cos(\theta)) = r.cos(\theta)[/tex3]
Ficamos, então com integral tripla (não esquecendo do jacobiano):
[tex3]\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2\pi }\int\limits_{0}^{\sqrt{5-r^2}} (r.cos(\theta)).r\space dzd\theta dr[/tex3]
[tex3]= \int\limits_{0}^{2} r^2\sqrt{5-r^2} dr . \int\limits_{0}^{2\pi } cos(\theta)\space d\theta [/tex3]
[tex3]= (\int\limits_{0}^{2} r^2\sqrt{5-r^2} dr) \space \times 0 = 0 [/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\boxed {\int\limits_{-2}^{2}\int\limits_{ -\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{5-(x^2+y^2)}} x\space dzdydx = 0}[/tex3]
Substituíndo na equação da esfera, achamos as coordenadas z que ocorre a interseção:
[tex3]4z + z^2 = 5 \rightarrow z=1 \space ou \space z = -5 [/tex3]
Em [tex3]\boxed {z=1}[/tex3] : [tex3]x^2+y^2+(1)^2 = 5 \rightarrow x^2+y^2=4[/tex3] (Região xy)
Variação em:[tex3]0 \leq z \leq \sqrt{5-(x^2+y^2)}[/tex3]
Logo a região T é dada por:
[tex3]T = \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3} / \space -2 \leq x \leq 2, \space -\sqrt{4-x^2} \leq y\leq \sqrt{4-x^2}, \space 0 \leq z \leq \sqrt{5-(x^2+y^2)} \} [/tex3]
Ficando com a integral tripla (chatinha de resolver...):
[tex3]\int\limits_{-2}^{2}\int\limits_{ -\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{5-(x^2+y^2)}} x\space dzdydx[/tex3]
Em coordenadas cilíndricas, fazendo a transformação na região R(T):
[tex3]R(T) = \{ (r,\theta, z) \space /\space 0 \leq r \leq 2, \space \space 0 \leq \theta \leq 2\pi, \space \space 0\leq z \leq \sqrt{5-r^2} \} [/tex3]
Lembrando que:
[tex3]x = r.cos(\theta) \rightarrow f(r.cos(\theta)) = r.cos(\theta)[/tex3]
Ficamos, então com integral tripla (não esquecendo do jacobiano):
[tex3]\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2\pi }\int\limits_{0}^{\sqrt{5-r^2}} (r.cos(\theta)).r\space dzd\theta dr[/tex3]
[tex3]= \int\limits_{0}^{2} r^2\sqrt{5-r^2} dr . \int\limits_{0}^{2\pi } cos(\theta)\space d\theta [/tex3]
[tex3]= (\int\limits_{0}^{2} r^2\sqrt{5-r^2} dr) \space \times 0 = 0 [/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\boxed {\int\limits_{-2}^{2}\int\limits_{ -\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{5-(x^2+y^2)}} x\space dzdydx = 0}[/tex3]
Última edição: lorramrj (Seg 05 Fev, 2018 21:04). Total de 1 vez.
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O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
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