Ensino Superior ⇒ Álgebra linear Tópico resolvido

[vincent12]

Discuta, em função dos parâmetros α e β, o seguinte sistema de equações lineares:
[tex3]\begin{cases}
x + 4y + 3z = 10 \\
2x + 7y − 2z = 10 \\
x + 5y + αz = β
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x + 4y + 3z = 10 \\
2x + 7y − 2z = 10 \\
x + 5y + αz = β
\end{cases}[/tex3]

*utilize se possível o método de eliminação de Gauss*

[petras]

Por Determinante:

[tex3]D=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3 \\
2 & 7 & -2 \\
1 & 5 & a \\
\end{pmatrix}=11-a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3 \\
2 & 7 & -2 \\
1 & 5 & a \\
\end{pmatrix}=11-a[/tex3]

Se D [tex3]\neq 0\rightarrow a\neq 11\rightarrow SPD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\neq 0\rightarrow a\neq 11\rightarrow SPD[/tex3]

Se a = 11:

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3 & 10 \\
2 & 7 & 2 & 10 \\
1 & 5 & 11 & b \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3 & 10 \\
0 & -1 & -8 & -10 \\
0 & 1 & 8 & -10+b \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3 & 10 \\
0 & -1 & -8 & -10 \\
0 & 0 & 0 & -20+b \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3 & 10 \\
2 & 7 & 2 & 10 \\
1 & 5 & 11 & b \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3 & 10 \\
0 & -1 & -8 & -10 \\
0 & 1 & 8 & -10+b \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3 & 10 \\
0 & -1 & -8 & -10 \\
0 & 0 & 0 & -20+b \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Se -20+b=0 [tex3]\rightarrow b=20 \rightarrow SPD\ e\ se\ b\neq20\rightarrow SI[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow b=20 \rightarrow SPD\ e\ se\ b\neq20\rightarrow SI[/tex3]

Se [tex3]\alpha \neq 11\rightarrow SPD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha \neq 11\rightarrow SPD[/tex3]

Se [tex3]\alpha =11\ e\ \beta =20\rightarrow SPI[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha =11\ e\ \beta =20\rightarrow SPI[/tex3]

Se [tex3]\alpha =11\ e\ \beta \neq 20\rightarrow SI[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha =11\ e\ \beta \neq 20\rightarrow SI[/tex3]