Ensino Superior ⇒ Binomio de Newton Tópico resolvido
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Mar 2017
22
18:26
Binomio de Newton
Determine o Termo medio do desenvolvimento de [tex3](x+y)^{5}[/tex3]
onde [tex3]x=1[/tex3]
e [tex3]y=0[/tex3]
.
Última edição: Cientista (Qua 22 Mar, 2017 18:26). Total de 1 vez.
Força e bons estudos!
Mar 2017
23
09:26
Re: Binomio de Newton
Não seria [tex3](x+y)^{4}[/tex3]
?
Última edição: petras (Qui 23 Mar, 2017 09:26). Total de 1 vez.
Mar 2017
23
09:52
Re: Binomio de Newton
Binômio de Newton: [tex3](a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_{n}^{k}\; a^{n-k}\;b^k[/tex3]
Termo Geral: [tex3]T_{k+1} = C_{n}^{k}\; a^{n-k}\;b^k[/tex3]
Vou fazer para 2 casos: n = 6 e n = 4.
[tex3](x+y)^6[/tex3] , onde [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]y=0[/tex3] .
[tex3](x+y)^6[/tex3] possui 7 termos e como temos os termos T0, T1, T2, T3, T4, T5, T6, então T3 é o termo médio.
[tex3]T_3 = T_{2+1} = C_{6}^{2}\; x^{6-2}\;y^2 = C_{6}^{2}\;x^4 \;y^2 = \frac{6 \times 5}{2!} \cdot x^4 \cdot y^2 = \frac{30}{2} \cdot x^4 \cdot y^2 = 15 \cdot x^4 \cdot y^2[/tex3]
[tex3]T_3= 15 \cdot x^4 \cdot y^2 = 15 \cdot 1^4 \cdot 0^2 = 0[/tex3]
[tex3](x+y)^4[/tex3] , onde [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]y=0[/tex3] .
[tex3](x+y)^4[/tex3] possui 5 termos e como temos os termos T0, T1, T2, T3, T4, então T2 é o termo médio.
[tex3]T_2 = T_{1+1} = C_{4}^{1}\; x^{4-1}\;y^1 = C_{4}^{1}\;x^3 \;y^1 = \frac{4}{1!} \cdot x^3 \cdot y^1 = 4 \cdot x^3 \cdot y^1[/tex3]
[tex3]T_2= 4 \cdot x^3 \cdot y^1 = 4 \cdot 1^3 \cdot 0^1 = 0[/tex3]
Termo Geral: [tex3]T_{k+1} = C_{n}^{k}\; a^{n-k}\;b^k[/tex3]
Vou fazer para 2 casos: n = 6 e n = 4.
[tex3](x+y)^6[/tex3] , onde [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]y=0[/tex3] .
[tex3](x+y)^6[/tex3] possui 7 termos e como temos os termos T0, T1, T2, T3, T4, T5, T6, então T3 é o termo médio.
[tex3]T_3 = T_{2+1} = C_{6}^{2}\; x^{6-2}\;y^2 = C_{6}^{2}\;x^4 \;y^2 = \frac{6 \times 5}{2!} \cdot x^4 \cdot y^2 = \frac{30}{2} \cdot x^4 \cdot y^2 = 15 \cdot x^4 \cdot y^2[/tex3]
[tex3]T_3= 15 \cdot x^4 \cdot y^2 = 15 \cdot 1^4 \cdot 0^2 = 0[/tex3]
[tex3](x+y)^4[/tex3] , onde [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]y=0[/tex3] .
[tex3](x+y)^4[/tex3] possui 5 termos e como temos os termos T0, T1, T2, T3, T4, então T2 é o termo médio.
[tex3]T_2 = T_{1+1} = C_{4}^{1}\; x^{4-1}\;y^1 = C_{4}^{1}\;x^3 \;y^1 = \frac{4}{1!} \cdot x^3 \cdot y^1 = 4 \cdot x^3 \cdot y^1[/tex3]
[tex3]T_2= 4 \cdot x^3 \cdot y^1 = 4 \cdot 1^3 \cdot 0^1 = 0[/tex3]
Última edição: Rafa2604 (Qui 23 Mar, 2017 09:52). Total de 2 vezes.
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23
16:22
Re: Binomio de Newton
pERCEBI !! Mas se o n for =3 por exemplo? temos que tera n+1 termos, logo T0 T1 T2 T3 qual seria o termo medio ai nesse caso?
Desde ja obrigado
Desde ja obrigado
Força e bons estudos!
Mar 2017
23
16:53
Re: Binomio de Newton
Cientista, eu não sei se tu sabes inglês, mas se souberes dê uma lida aqui: http://www.math-for-all-grades.com/Midd ... eorem.html
Eu não sabia, mas para n ímpar, nós temos 2 termos médios: [tex3]T_{(n-1)/2}[/tex3] e [tex3]T_{(n+1)/2}[/tex3]
Vamos então fazer para o problema original que tu perguntaste:
Binômio de Newton:[tex3](a+b)^n=\sum_{k=0}^n \;C_k^n \; a^{n−k} \;b^k[/tex3]
Termo Geral: [tex3]T_{k+1} = C_n^k \; a^{n−k} \;b^k[/tex3]
[tex3](x+y)^5[/tex3] , onde [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]y=0[/tex3] .
[tex3](x+y)^5[/tex3] possui 6 termos e como temos os termos T0, T1, T2, T3, T4, T5, então T2 e T3 são os termos médios.
[tex3]T_2 = T_{1+1} = C_{5}^{1}\; x^{5-1}\;y^1 = C_{5}^{1}\;x^4 \;y^1 = \frac{5}{1!} \cdot x^4 \cdot y^1 = 5 \cdot x^4 \cdot y^1[/tex3]
[tex3]T_2= 5 \cdot x^4 \cdot y^1 = 5 \cdot 1^4 \cdot 0^1 = 0[/tex3]
[tex3]T_3 = T_{2+1} = C_{5}^{2}\; x^{5-2}\;y^2 = C_{5}^{2}\;x^3 \;y^2 = \frac{5 \times 4}{2!} \cdot x^3 \cdot y^2 = \frac{20}{2} \cdot x^3 \cdot y^2 = 10 \cdot x^3 \cdot y^2[/tex3]
[tex3]T_3= 10 \cdot x^3 \cdot y^2 = 10 \cdot 1^3 \cdot 0^2 = 0[/tex3]
Eu não sabia, mas para n ímpar, nós temos 2 termos médios: [tex3]T_{(n-1)/2}[/tex3] e [tex3]T_{(n+1)/2}[/tex3]
Vamos então fazer para o problema original que tu perguntaste:
Binômio de Newton:[tex3](a+b)^n=\sum_{k=0}^n \;C_k^n \; a^{n−k} \;b^k[/tex3]
Termo Geral: [tex3]T_{k+1} = C_n^k \; a^{n−k} \;b^k[/tex3]
[tex3](x+y)^5[/tex3] , onde [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]y=0[/tex3] .
[tex3](x+y)^5[/tex3] possui 6 termos e como temos os termos T0, T1, T2, T3, T4, T5, então T2 e T3 são os termos médios.
[tex3]T_2 = T_{1+1} = C_{5}^{1}\; x^{5-1}\;y^1 = C_{5}^{1}\;x^4 \;y^1 = \frac{5}{1!} \cdot x^4 \cdot y^1 = 5 \cdot x^4 \cdot y^1[/tex3]
[tex3]T_2= 5 \cdot x^4 \cdot y^1 = 5 \cdot 1^4 \cdot 0^1 = 0[/tex3]
[tex3]T_3 = T_{2+1} = C_{5}^{2}\; x^{5-2}\;y^2 = C_{5}^{2}\;x^3 \;y^2 = \frac{5 \times 4}{2!} \cdot x^3 \cdot y^2 = \frac{20}{2} \cdot x^3 \cdot y^2 = 10 \cdot x^3 \cdot y^2[/tex3]
[tex3]T_3= 10 \cdot x^3 \cdot y^2 = 10 \cdot 1^3 \cdot 0^2 = 0[/tex3]
Última edição: Rafa2604 (Qui 23 Mar, 2017 16:53). Total de 2 vezes.
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