Ensino Superior ⇒ Binomio de Newton Tópico resolvido

[Cientista]

Desenvolva o seguinte Binomio:

[tex3](x+y)^{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+y)^{5}[/tex3]

Alguem tem algum Link ou Video onde expliquem o Binomio de Newton, Termo medio geral?

[Andre13000]

Olá cienstista!

O termo geral do binômio de Newton é:

[tex3]T_{p+1}=\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}a^{n-p}b^p[/tex3]

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[tex3]T_{p+1}=\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}a^{n-p}b^p[/tex3]

para um binômio na forma [tex3](a+b)^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)^n[/tex3]

A expansão pode ser expressa na forma condensada da seguinte forma:

[tex3]\sum_{p=0}^{n}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}a^{n-p}b^p[/tex3]

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[tex3]\sum_{p=0}^{n}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}a^{n-p}b^p[/tex3]

Talvez para algumas pessoas essa notação seja incômoda, mas se você escolheu de exatas, vai ter de lidar com o desconhecido a todo o momento kkkk. Você se acostuma, e quando você vê, já é algo automático.

Então o que você quer é a expansão do binômio, certo?

Para fazer isso da maneira mais otimizada possível, é essencial pensar no triângulo de Pascal, pois este relaciona as combinações [tex3]\begin{pmatrix}
a \\
b \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix}
a \\
b \\
\end{pmatrix}[/tex3]

de tal forma que se obtenham propriedades que podem ser dispostas em nada mais, nada menos que um triângulo, o que acaba por facilitar o processo de cálculo deste em vez de ter de fazer cada fatorial isolado.

(... Olha eu tentei fazer o triangulo de pascal aqui mas tá complicado, dá ambiente desconhecido, não sei o que é esse danado aí kkkk. Mas em qualquer livro de matemática você deve achar ele na sua glória total )

Agora tendo em mente como montar um triângulo de Pascal, elabore-o até a linha [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

, e essa linha é importante pois ela vai determinar quais são os coeficientes do seu binômio de forma [tex3](a+b)^n[/tex3]

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[tex3](a+b)^n[/tex3]

A linha 5 do triângulo ficaria assim (tendo em mente que a primeira linha do triângulo de pascal é a linha 0, nunca se esqueça disso):

[tex3]1,5,10,10,5,1[/tex3]

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[tex3]1,5,10,10,5,1[/tex3]

Ou seja, seu primeiro termo terá coeficiente [tex3]\begin{pmatrix}
5 \\
0 \\
\end{pmatrix}=1[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix}
5 \\
0 \\
\end{pmatrix}=1[/tex3]

, o segundo [tex3]\begin{pmatrix}
5 \\
1 \\
\end{pmatrix}=5[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix}
5 \\
1 \\
\end{pmatrix}=5[/tex3]

, o terceiro [tex3]\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
\end{pmatrix}=10[/tex3]

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[tex3]\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
\end{pmatrix}=10[/tex3]

e por aí vai.

Tendo em vista a fórmula geral do termo binomial, é só substituir esses valores obtidos por meio do triângulo de Pascal.

[tex3]\sum_{p=0}^{n}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}a^{n-p}b^p\rightarrow \sum_{p=0}^{n}\begin{pmatrix}
5 \\
p \\
\end{pmatrix}x^{5-p}y^p=\begin{pmatrix}
5 \\
0 \\
\end{pmatrix}x^5y^0+\begin{pmatrix}
5 \\
1 \\
\end{pmatrix}x^4y+\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
\end{pmatrix}x^3y^2+\begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
\end{pmatrix}x^2y^3+\begin{pmatrix}
5 \\
4 \\
\end{pmatrix}xy^4+\begin{pmatrix}
5 \\
5 \\
\end{pmatrix}x^0y^5\\
\\
=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{p=0}^{n}\begin{pmatrix}
n \\
p \\
\end{pmatrix}a^{n-p}b^p\rightarrow \sum_{p=0}^{n}\begin{pmatrix}
5 \\
p \\
\end{pmatrix}x^{5-p}y^p=\begin{pmatrix}
5 \\
0 \\
\end{pmatrix}x^5y^0+\begin{pmatrix}
5 \\
1 \\
\end{pmatrix}x^4y+\begin{pmatrix}
5 \\
2 \\
\end{pmatrix}x^3y^2+\begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
\end{pmatrix}x^2y^3+\begin{pmatrix}
5 \\
4 \\
\end{pmatrix}xy^4+\begin{pmatrix}
5 \\
5 \\
\end{pmatrix}x^0y^5\\
\\
=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5[/tex3]

Além disso, não tem muito mistério não. Espero ter ajudado.

[Auto Excluído (ID:17092)]

Olá, Cientista e Andre13000!
Como sugestão de material, eu sugiro o Nerckie. A primeira etapa das aulas sobre Binômio de Newton, você pode conferir abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=w8tofUVHxNU