Ensino Superior ⇒ Continuidade Tópico resolvido

[xjohnx]

Prove que f: R → R
x ↦ [tex3]\begin{cases}
1, x\leq 1 \\
2, x>2
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
1, x\leq 1 \\
2, x>2
\end{cases}[/tex3]

É contínua em P [tex3]\neq[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\neq[/tex3]

1, mas não em P = 1

[Cardoso1979]

Observe

Obs. A função que você postou está bastante "estranha" , porém suponho que a mesma seja na realidade:

f: R → R
x ↦[tex3]\begin{cases}
1, \ x\leq 1 \\
2, \ x>1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
1, \ x\leq 1 \\
2, \ x>1
\end{cases}[/tex3]

Uma prova:

Graficamente:

15819081574223564746005810519380.jpg (252.47 KiB) Exibido 321 vezes

Vemos, intuitivamente, que f não é contínua em p = 1, pois o gráfico apresenta "salto" nesse ponto.

Para provar que f não é contínua em p = 1, precisamos encontrar [tex3]\varepsilon > 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\varepsilon > 0[/tex3]

para o qual não exista [tex3]\delta
> 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta
> 0 [/tex3]

que torne verdadeira a afirmação

“∀x ∈ Df , 1 - δ < x < 1 + δ ⇒ f( 1 ) - ε < f( x ) < f( 1 ) + ε".

Como f( x ) = 2 para x > 1 e f( 1 ) = 1 , tomando-se ε = 1/2 ( ou 0 < ε < 1 ), para todo δ > 0,

1 - δ < x < 1 + δ ⇒ f( x ) = 2

15819071127104607190028893528912.jpg (255.91 KiB) Exibido 321 vezes

e 2 não está entre f( 1 ) - (1/2) e f( 1 ) + (1/2) . Logo, não existe δ > 0 que torna verdadeiro afirmação.

“∀x ∈ Df , 1 - δ < x < 1 + δ ⇒ f( 1 ) - (1/2) < f( x ) < f( 1 ) + (1/2)".


Portanto, a função dada não é contínua em p = 1 . Note que f é contínua em todo p ≠ 1. C.q.p.


Bons estudos!