Ensino Superior ⇒ Somatório Convergente Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2017
12
11:59
Somatório Convergente
Alguém poderia me ajudar a determinar se [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }= \frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)(+5)}[/tex3]
converge.
Última edição: mbuenon (Dom 12 Mar, 2017 11:59). Total de 2 vezes.
Mar 2017
14
03:45
Re: Somatório Convergente
Olá bom dia.
Primeiramente vamos desenvolver o numerador e denominador:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)(n+5)}[/tex3] .
[tex3]a_{n}=\frac{n\cdot (n+3)}{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+5)}[/tex3]
[tex3]a_{n}=\frac{n^{2}+3n}{(n^{2}+3n+2)\cdot (n+5)}[/tex3]
[tex3]a_{n}=\frac{n^{2}+3n}{n^{3}+8n^{2}+17n+10}[/tex3]
[tex3]a_{n}=\frac{n^{2}\cdot (1+\frac{3}{n})}{n^{3}\cdot (1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}})}[/tex3]
[tex3]a_{n}=\frac{1}{n}\cdot \frac{(1+\frac{3}{n})}{(1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}})}[/tex3] . Temos que:
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] A série pode convergir.
Para [tex3]n[/tex3] grande, temos:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}+3n}{n^{3}+8n^{2}+17n+10}\geq \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{n^{3}+8n^{2}+17n+10}[/tex3] . ∀ [tex3]n\geq 1[/tex3] .
Utilizando o critério de comparação por limite, vamos comparar com a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] ([tex3]\frac{1}{n}=b_{n}[/tex3] ):
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{n^{2}}{n^{3}+8n^{2}+17n+10}}{\frac{1}{n}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^{2}}{\frac{n^{3}\cdot (1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}})}{\frac{1}{n}}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\frac{n\cdot (1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}})}{\frac{1}{n}}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}}}{\frac{1}{n}}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}}}[/tex3] . Aplicando o limite:
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}}}=1[/tex3] . Como o limite [tex3]L=1>0[/tex3] , as séries [tex3]a_{n}[/tex3] e [tex3]b_{n}[/tex3] , tem a mesma natureza.
Como a série comparada [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}[/tex3] diverge, então a série [tex3]\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)(n+5)}[/tex3] também Diverge.
Att>> rodBR.
Primeiramente vamos desenvolver o numerador e denominador:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)(n+5)}[/tex3] .
[tex3]a_{n}=\frac{n\cdot (n+3)}{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+5)}[/tex3]
[tex3]a_{n}=\frac{n^{2}+3n}{(n^{2}+3n+2)\cdot (n+5)}[/tex3]
[tex3]a_{n}=\frac{n^{2}+3n}{n^{3}+8n^{2}+17n+10}[/tex3]
[tex3]a_{n}=\frac{n^{2}\cdot (1+\frac{3}{n})}{n^{3}\cdot (1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}})}[/tex3]
[tex3]a_{n}=\frac{1}{n}\cdot \frac{(1+\frac{3}{n})}{(1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}})}[/tex3] . Temos que:
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] A série pode convergir.
Para [tex3]n[/tex3] grande, temos:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}+3n}{n^{3}+8n^{2}+17n+10}\geq \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{n^{3}+8n^{2}+17n+10}[/tex3] . ∀ [tex3]n\geq 1[/tex3] .
Utilizando o critério de comparação por limite, vamos comparar com a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] ([tex3]\frac{1}{n}=b_{n}[/tex3] ):
[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{n^{2}}{n^{3}+8n^{2}+17n+10}}{\frac{1}{n}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^{2}}{\frac{n^{3}\cdot (1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}})}{\frac{1}{n}}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\frac{n\cdot (1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}})}{\frac{1}{n}}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}}}{\frac{1}{n}}}[/tex3]
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}}}[/tex3] . Aplicando o limite:
[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}+\frac{10}{n^{3}}}=1[/tex3] . Como o limite [tex3]L=1>0[/tex3] , as séries [tex3]a_{n}[/tex3] e [tex3]b_{n}[/tex3] , tem a mesma natureza.
Como a série comparada [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}[/tex3] diverge, então a série [tex3]\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)(n+5)}[/tex3] também Diverge.
Att>> rodBR.
Última edição: rodBR (Ter 14 Mar, 2017 03:45). Total de 2 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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