Ensino SuperiorGeometria Espacial

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QUEMQUEM
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Geometria Espacial

Mensagem não lida por QUEMQUEM »

Mostre que não há poliedro convexo com exatamente 7 arestas.




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314159265
2 - Nerd
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Mar 2017 04 16:53

Re: Geometria Espacial

Mensagem não lida por 314159265 »

Você concorda que pra eu formar um poliedro o número mínimo de arestas que partem de cada vértice deve ser 3? Sei também que cada aresta dessa será contada duas vezes. Assim eu concluo que uma condição de existência do poliedro é que [tex3]\frac{3\times V}{2} \leq A[/tex3] , onde V é o número de vértices e A o número de arestas.

Concorda também que a face com a menor quantidade de arestas que eu posso ter é o triângulo e que o número mínimo de faces pra formar um poliedro é igual a 4 (caso do tetraedro)? Se eu multiplicar o número de faces por 3, eu vou encontrar o número de lados dos triângulos. Cada aresta vai ser um lado desses contado 2 vezes. Ou seja, para que o poliedro exista o número de arestas vai ser sempre maior ou igual a isso: [tex3]\frac{3\times F}{2} \leq A[/tex3] .

Para um caso de 7 arestas, temos:

[tex3]\frac{3\times V}{2} \leq 7[/tex3]
[tex3]V \leq \frac{14}{3}=4,66[/tex3] ; Condição de existência 1

[tex3]\frac{3\times F}{2} \leq 7[/tex3]
[tex3]F \leq \frac{14}{3}=4,66[/tex3] ; Condição de existência 2

Pela Relação de Euler:

F + V = A + 2
F + V = 7 + 2
F + V = 9

Pra dar 9, temos as seguintes somas possíveis:

1+8, 2+7, 3+6, 4+5, 5+4, 6+3, 7+2, 8+1.

Observe que nenhuma delas satisfaz ambas as condições de existência do poliedro. Portanto não existe poliedro com 7 arestas.

Última edição: 314159265 (Sáb 04 Mar, 2017 16:53). Total de 1 vez.



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