Ensino Superior

Uma curva [tex3]C[/tex3] tem a forma da interseção das superfícies [tex3]z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex3] e [tex3]y + \sqrt{2}z = 1[/tex3] . Calcule a integral de linha

[tex3]\int\limits_{C }|x(y+1)|ds[/tex3]

Mensagem não lidapor **jedi** » Sex 03 Mar, 2017 22:47 · Mensagem não lida por **jedi** » Sex 03 Mar, 2017 22:47

[tex3]y=1-\sqrt2z[/tex3]

[tex3]z^2=x^2+y^2[/tex3]

[tex3]z^2=x^2+(1-\sqrt2z)^2[/tex3]

[tex3]x=\pm\sqrt{z^2-(1-\sqrt2z)^2)}[/tex3]

aqui teremos que dividir o problema para dois casos onde [tex3]x=+\sqrt{z^2-(1-\sqrt2z)^2)}[/tex3] e [tex3]x=-\sqrt{z^2-(1-\sqrt2z)^2)}[/tex3]
para o primeiro caso

[tex3]\frac{dx}{dz}=\frac{\sqrt2-z}{\sqrt{z^2-(1-\sqrt2z)^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{dz}=-\sqrt2[/tex3]

[tex3]ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dz}\right)^2+\left(\frac{dy}{dz}\right)^2+\left(\frac{dz}{dz}\right)^2}dz[/tex3]

[tex3]ds=\sqrt{\frac{(\sqrt2-z)^2}{z^2-(1-\sqrt2z)^2}+(-\sqrt2)^2+1}dz[/tex3]

[tex3]ds=\sqrt{\frac{z^2-2\sqrt2z+2-3+6\sqrt2z-3z^2}{z^2-(1-\sqrt2z)^2}}dz[/tex3]

[tex3]ds=\sqrt{\frac{-2z^2+4\sqrt2z-1}{z^2-(1-\sqrt2z)^2}}dz[/tex3]

temos também que [tex3]z^2-(1-\sqrt2z)^2)\geq0[/tex3]

portanto [tex3]\sqrt2+1\geq z\geq \sqrt2-1[/tex3]

[tex3]\int\limits_{C }|x(y+1)|ds=\int\limits_{C }|x||(y+1)|ds[/tex3]

como estamos trabalhando no caso onde x é positivo para qualquer valor de z não precisamos nos preocupar com o modulo de x
mas para [tex3]y+1<0[/tex3]

[tex3]1-\sqrt2z+1<0[/tex3]

[tex3]z>\sqrt2[/tex3]

portanto teremos uma integral indo de [tex3]z=\sqrt2-1[/tex3] até [tex3]z=\sqrt2[/tex3] que vamos chamar de C1 e outra indo de [tex3]z=\sqrt2[/tex3] até [tex3]z=\sqrt2+1[/tex3] que vamos chamar de C2

[tex3]\int\limits_{C }|x(y+1)|ds=\int\limits_{C_1 }x(y+1)ds+\int\limits_{C_2 }x(-y-1)ds[/tex3]

substituindo os valores de x, y e ds

[tex3]=\int_{\sqrt2-1}^{\sqrt2}\sqrt{z^2-(1-\sqrt2z)^2)}(1-\sqrt2z+1)\sqrt{\frac{-2z^2+4\sqrt2z-1}{z^2-(1-\sqrt2z)^2}}dz+\\\int_{\sqrt2}^{\sqrt2+1}|\sqrt{z^2-(1-\sqrt2z)^2)}(-1+\sqrt2z-1)\sqrt{\frac{-2z^2+4\sqrt2z-1}{z^2-(1-\sqrt2z)^2}}dz[/tex3]

[tex3]\int_{\sqrt2-1}^{\sqrt2}(2-\sqrt2z)\sqrt{-2z^2+4\sqrt2z-1}dz-\int_{\sqrt2}^{\sqrt2+1}(2-\sqrt2z)\sqrt{-2z^2+4\sqrt2z-1}dz[/tex3]

[tex3]u=-2z^2+4\sqrt2z-1[/tex3]

[tex3]du=(4\sqrt2-4z)dz[/tex3]

[tex3]du=2\sqrt2(2-\sqrt2 z)dz[/tex3]

[tex3]\int\frac{\sqrt{u}}{2\sqrt2}du[/tex3]

[tex3]\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3\sqrt2}[/tex3]

[tex3]\frac{(-2z^2+4\sqrt2z-1)^{\frac{3}{2}}}{3\sqrt2}\Bigg|_{\sqrt2-1}^{\sqrt2}-\frac{(-2z^2+4\sqrt2z-1)^{\frac{3}{2}}}{3\sqrt2}\Bigg|_{\sqrt2}^{\sqrt2+1}[/tex3]

[tex3]=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\sqrt2(\sqrt3-1)[/tex3]

agora é necessário fazer para quando [tex3]x=-\sqrt{z^2-(1-\sqrt2z)^2)}[/tex3]
será o mesma coisa, mas no modulo de x, como estamos trabalhando com valores negativos de x então [tex3]|x|=-x[/tex3]

Boa noite,
Jedi

O intervalo é de [tex3]0[/tex3] até [tex3]2\pi[/tex3] ??

Mensagem não lidapor **jedi** » Sex 03 Mar, 2017 23:01 · Mensagem não lida por **jedi** » Sex 03 Mar, 2017 23:01

Boa noite ALANSILVA

Sim considerei [tex3]2\pi[/tex3]

Fiz no Symbolab através da mudança aí ficou assim
[tex3]\int\limits_{0}^{2\pi }[/tex3] |[tex3]\sqrt{2}[/tex3] costsent [tex3]|\sqrt{1+cos^{2}t}[/tex3] dt
Está dando zero!!

Mensagem não lidapor **jedi** » Sex 03 Mar, 2017 23:27 · Mensagem não lida por **jedi** » Sex 03 Mar, 2017 23:27

Não consegui abrir o link

talvez por causa do caminho da integral de 0 até [tex3]2\pi[/tex3] haja um cancelamento o correto então seria 2 vezes a integral de 0 até [tex3]\pi[/tex3]

mas eu não entendi essa mudança de variavel

Vê uma fórmula aqui
https://www.youtube.com/watch?v=2m_l2u4 ... e=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=WAgNalG ... e=youtu.be

Integral de linha para função escalar

Mensagem não lidapor **jedi** » Sex 03 Mar, 2017 23:44 · Mensagem não lida por **jedi** » Sex 03 Mar, 2017 23:44

Então nesses casos ai foi possível simplificar pois ele já deu as curvas parametrizadas, nesse caso temos que encontrar quais são as equações paramétricas da nossa curva que é intersecção dos dois planos, eu parametrizei em função de z.

você pode até parametrizar de outra maneira mas nesse caso não da para dizer que

[tex3]x=cos(t)[/tex3]

[tex3]y=sen(t)[/tex3]

essas são equações paramétricas de um circulo de raio 1 no plano xy, não é o nosso caso

Eu encontrei uma parametrização de uma elipse
Vou ver se acho minha solução

z=[tex3]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex3] e y+[tex3]\sqrt{2}z[/tex3] =1
A interseção será
y+[tex3]\sqrt{2}[/tex3] .([tex3]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex3] )=1
[tex3]\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}[/tex3] =1-y
2([tex3]x^{2} + y^{2}) = (1-y)^{2}[/tex3]
2([tex3]x^{2} + y^{2})[/tex3] =1-2y+[tex3]y^{2}[/tex3]
[tex3]x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}[/tex3] -y+[tex3]\frac{y^{2}}{2}[/tex3]
[tex3]x^{2} + y^{2} - \frac{y^{2}}{2}[/tex3] +y=[tex3]\frac{1}{2}[/tex3] (Aqui faz o completando quadrado)

Aí fica
[tex3]x^{2} + \frac{(y+1)^{2}}{2}[/tex3] =1 [tex3]\rightarrow[/tex3] equação de uma elipse com centro (0,-1)

Parametrizando a elipse
x=cost
y=[tex3]\sqrt{2}[/tex3] sent-1, logo
z=[tex3]\sqrt{2}[/tex3] -sent

Daí em diante usar a fórmula de integral de linha usando as parametrizações, até chegar na integral acima.

Ensino Superior ⇒ Integral de linha

Integral de linha

Re: Integral de linha

Re: Integral de linha

Re: Integral de linha

Re: Integral de linha

Re: Integral de linha

Re: Integral de linha

Re: Integral de linha

Re: Integral de linha

Re: Integral de linha

Ensino Superior ⇒ Integral de linha

Entrar • Registrar