Ensino SuperiorIntegral por substituição trigonométrica

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lebzeit
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Integral por substituição trigonométrica

Mensagem não lida por lebzeit »

Como resolver essa integral por substituição trigonométrica? O meu resultado não está batendo com o gabarito.

[tex3]\int \frac{x\arctan \left(x\right)}{\sqrt{1+x^{^2}}}dx[/tex3]

Última edição: lebzeit (Seg 27 Fev, 2017 17:32). Total de 1 vez.



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3tom
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Fev 2017 27 18:29

Re: Integral por substituição trigonométrica

Mensagem não lida por 3tom »

Faz por partes:
[tex3]\int\frac{x\arctan(x)}{\sqrt{1+x^2}} dx =\arctan(x)\sqrt{1+x^2} - \int\frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x^2} dx[/tex3]
A última integral pode ser escrita como [tex3]\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx[/tex3] faça [tex3]x=\tan u \Rightarrow dx=\sec^2u du[/tex3] a integral fica [tex3]\int\sec u du =\ln|\sec u + \tan u|[/tex3] voltando a substituição:
[tex3]\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx=\ln|\sqrt{1+x^2} + x|[/tex3]
Finalmente: [tex3]\int\frac{x\arctan(x)}{\sqrt{1+x^2}} dx =\arctan(x)\sqrt{1+x^2} - \ln|\sqrt{1+x^2} + x| + k[/tex3]

Última edição: 3tom (Seg 27 Fev, 2017 18:29). Total de 1 vez.



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lebzeit
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Fev 2017 27 18:51

Re: Integral por substituição trigonométrica

Mensagem não lida por lebzeit »

Obrigado, 3tom. Refiz a questão pelas suas instruções e consegui fazer. Quando eu fiz pela primeira vez, primeiro eu fiz a substituição trigonométrica e depois eu fiz a integração por partes. Também é possível fazer desta maneira?

Caso precise, posso mandar da maneira que fiz.



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3tom
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Fev 2017 27 19:40

Re: Integral por substituição trigonométrica

Mensagem não lida por 3tom »

É possível, fazendo [tex3]x=\tan u \Rightarrow dx=\sec ^2udu[/tex3]
A integral fica
[tex3]\int u\tan u\sec u du[/tex3]
Agora o segundo passo é por partes :D
[tex3]\int u\tan u\sec u du=u\sec u-\int\sec udu =u\sec u-\ln|\sec u + \tan u| +k[/tex3]
Substituindo pelo valor de [tex3]x[/tex3] você vai obter o mesmo resultado acima.
Última edição: 3tom (Seg 27 Fev, 2017 19:40). Total de 1 vez.



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lebzeit
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Fev 2017 27 20:31

Re: Integral por substituição trigonométrica

Mensagem não lida por lebzeit »

[tex3]x=\tan \left(\theta \right)[/tex3] e [tex3]dx=sec^{^2}\left(\theta \right)d\theta[/tex3] , não ficaria?

[tex3]\int \:\tan \left(\theta \right)\arctan \left(\tan \left(\theta \right)\right)\sec ^{^{ }}\left(\theta \right)d\theta[/tex3]

Eu substitui também o X do arcotangente pela tangente de teta.

Última edição: lebzeit (Seg 27 Fev, 2017 20:31). Total de 2 vezes.



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