Calcule:
[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)[/tex3]
Obs: Se possível, na hora da resolução, não pulem muito os passo a passo, por favor.
Gabarito: [tex3]+\infty[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Limite Infinito Tópico resolvido
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Fev 2017
16
20:17
Re: Limite Infinito
Ola Amigo,
Repara que primeiramente nos devemos aplicar o conjugado, que seria a mesma expressao embora no meio com o sinal oposto( neste caso [tex3]+[/tex3] ), em cima e em baixo, notaremos que em cima teremos algo tipo [tex3]a^{2}-b^{2}=(a-b).(a+b)[/tex3] , analogamente ao fazermos a nossa expresser original multiplicando com o seu conjugado, teremos [tex3]x+\sqrt{x+\sqrt{x}}-(\sqrt{x})^{2}\rightarrow \sqrt{x+\sqrt{x}}[/tex3] . Logo, pondo em evidencia o [tex3]x[/tex3] , teremos [tex3][x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})]^\frac{1}{2}=\sqrt{x}[/tex3] . Repara que estavamos a trabalhar com a parte de cima, agora vamos trabalhar com a parte de baixo com o mesmo processo, assim teremos:
[tex3][x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})]^\frac{1}{2}=\sqrt{x+\sqrt{x}}[/tex3] [tex3]+[/tex3] [tex3]\sqrt{x}[/tex3]
Vamos continuar, agora com essa nova expressao, pondo o x em evidencia de novo:
[tex3]\sqrt{x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}=\sqrt{x} + \sqrt{x}[/tex3] , somando eles teremos [tex3]2.\sqrt{x}[/tex3] . Ja fizemos a parte [tex3]I[/tex3] ( a de cima) e a parte [tex3]II[/tex3] ( a de baixo) de maneira Metodica(detalhadamente, passo-a-passo), agora vamos calcular o limite de [tex3]I/II[/tex3] ,'
[tex3]\frac{\sqrt{x}}{2.\sqrt{x}}=\boxed{\frac{1}{2}}[/tex3] respectivamente.
Repara que primeiramente nos devemos aplicar o conjugado, que seria a mesma expressao embora no meio com o sinal oposto( neste caso [tex3]+[/tex3] ), em cima e em baixo, notaremos que em cima teremos algo tipo [tex3]a^{2}-b^{2}=(a-b).(a+b)[/tex3] , analogamente ao fazermos a nossa expresser original multiplicando com o seu conjugado, teremos [tex3]x+\sqrt{x+\sqrt{x}}-(\sqrt{x})^{2}\rightarrow \sqrt{x+\sqrt{x}}[/tex3] . Logo, pondo em evidencia o [tex3]x[/tex3] , teremos [tex3][x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})]^\frac{1}{2}=\sqrt{x}[/tex3] . Repara que estavamos a trabalhar com a parte de cima, agora vamos trabalhar com a parte de baixo com o mesmo processo, assim teremos:
[tex3][x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})]^\frac{1}{2}=\sqrt{x+\sqrt{x}}[/tex3] [tex3]+[/tex3] [tex3]\sqrt{x}[/tex3]
Vamos continuar, agora com essa nova expressao, pondo o x em evidencia de novo:
[tex3]\sqrt{x.(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}=\sqrt{x} + \sqrt{x}[/tex3] , somando eles teremos [tex3]2.\sqrt{x}[/tex3] . Ja fizemos a parte [tex3]I[/tex3] ( a de cima) e a parte [tex3]II[/tex3] ( a de baixo) de maneira Metodica(detalhadamente, passo-a-passo), agora vamos calcular o limite de [tex3]I/II[/tex3] ,'
[tex3]\frac{\sqrt{x}}{2.\sqrt{x}}=\boxed{\frac{1}{2}}[/tex3] respectivamente.
Editado pela última vez por Cientista em 16 Fev 2017, 20:17, em um total de 7 vezes.
Força e bons estudos!
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