Ensino Superior

Use integral dupla para calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos gráficos das equações [tex3]z=4-x^2[/tex3] , [tex3]x+y=4[/tex3] , [tex3]x=0[/tex3] , [tex3]y=0[/tex3] e [tex3]z=0[/tex3] .

Alguém?

Observe:

Para visualizarmos melhor a região de integração, devemos primeiramente esboçar o gráfico, ou melhor, o sólido. Do plano x + y = 4,temos, y = 4 - x, fazendo x = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] y = 4, para y = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x = 4

Do cilindro parabólico z = 4 - x², temos:

Para x = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] z = 4

Para z = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x = [tex3]\pm [/tex3] 2 [tex3]\rightarrow [/tex3] x = 2( primeiro octante ).

Graficamente

: 15182654219711147793725.jpg (59.87 KiB) Exibido 501 vezes

O sólido terá a seguinte região de integração:

R = {[tex3]( x , y ) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x\leq 2 \ e \ 0 \leq y\leq 4 - x[/tex3] }

Então;

[tex3]V_{D} = \int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}f(x,y)dxdy =
\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{4-x}(4-x^{2})dydx [/tex3]

[tex3]V_{D} = \int\limits_{0}^{2}( 4y - y.x^{2})dx[/tex3]

Substituindo os integrantes 4 - x e 0, fica;

[tex3]V_{D} = \int\limits_{0}^{2}[ 4.( 4 - x ) -(4-x).x^{2}]dx[/tex3]

[tex3]V_{D} = \int\limits_{0}^{2}(16-4x - 4.x^{2}+ x^{3})dx[/tex3]

[tex3]V_{D} = (16x - 2x^{2} - \frac{4.x^{3}}{3}+ \frac{x^{4}}{4})[/tex3]

Substituindo os limites de integração 2 e 0 acima, vem;

[tex3]V_{D} = 16.2 - 2.2^{2} - \frac{4.2^{3}}{3}+ \frac{2^{4}}{4}[/tex3]

[tex3]V_{D} = 32 - 8 - \frac{32}{3}+4[/tex3]

[tex3]V_{D} = 28 - \frac{32}{3}[/tex3]

[tex3]V_{D} = \frac{84-32}{3}[/tex3]

[tex3]V_{D} = \frac{52}{3}[/tex3]

Portanto, o volume do sólido obtido vale [tex3]\frac{52}{3}u.v.[/tex3]

Nota

[tex3]f(x,y)=z=4-x^{2}[/tex3]

Bons estudos para quem estiver estudando este assunto!

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