Ensino Superior ⇒ Soma de séries

[Willm17]

Sejam as constantes [tex3]a_{n},n\geq 0,b_{n},n\geq 1,[/tex3]

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[tex3]a_{n},n\geq 0,b_{n},n\geq 1,[/tex3]

tais que

[tex3]\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos~nx+b_{n}sen~nx)=x^{2}.e^{x},-\pi <x<\pi[/tex3]

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[tex3]\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos~nx+b_{n}sen~nx)=x^{2}.e^{x},-\pi <x<\pi[/tex3]

Determine a soma da série para [tex3]x=\frac{11\pi }{2}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{11\pi }{2}[/tex3]

[jedi]

Temos que este somatório é a série de fourier para a função de período [tex3]2\pi[/tex3]

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[tex3]2\pi[/tex3]

descrita por [tex3]x^2.e^x[/tex3]

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[tex3]x^2.e^x[/tex3]

nesse intervalo
Primeiro devemos achar o a0

[tex3]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2.e^xdx[/tex3]

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[tex3]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2.e^xdx[/tex3]

[tex3]\int x^2.e^xdx=x^2.e^x-\int 2x e^x dx[/tex3]

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[tex3]\int x^2.e^xdx=x^2.e^x-\int 2x e^x dx[/tex3]

[tex3]\int x^2.e^xdx=x^2.e^x-2(x.e^x-\int e^x dx)[/tex3]

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[tex3]\int x^2.e^xdx=x^2.e^x-2(x.e^x-\int e^x dx)[/tex3]

[tex3]\int x^2.e^xdx=x^2.e^x-2x.e^x+2e^x[/tex3]

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[tex3]\int x^2.e^xdx=x^2.e^x-2x.e^x+2e^x[/tex3]

[tex3]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2.e^xdx=\frac{1}{\pi}\left(\pi^2.e^{\pi}-2\pi.e^{\pi}+2e^{\pi}-\pi^2.e^{-\pi}-2\pi.e^{-\pi}-2e^{-\pi}\right)[/tex3]

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[tex3]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2.e^xdx=\frac{1}{\pi}\left(\pi^2.e^{\pi}-2\pi.e^{\pi}+2e^{\pi}-\pi^2.e^{-\pi}-2\pi.e^{-\pi}-2e^{-\pi}\right)[/tex3]

[tex3]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2.e^xdx=(\pi-\frac{2}{\pi})(e^{\pi}-e^{-\pi})-2(e^\pi+e^{\pi})[/tex3]

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[tex3]a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2.e^xdx=(\pi-\frac{2}{\pi})(e^{\pi}-e^{-\pi})-2(e^\pi+e^{\pi})[/tex3]

portanto

[tex3]\frac{(\pi-\frac{2}{\pi})(e^{\pi}-e^{-\pi})-2(e^\pi+e^{\pi})}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos~nx+b_{n}sen~nx)=x^{2}.e^{x}[/tex3]

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[tex3]\frac{(\pi-\frac{2}{\pi})(e^{\pi}-e^{-\pi})-2(e^\pi+e^{\pi})}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos~nx+b_{n}sen~nx)=x^{2}.e^{x}[/tex3]

quando [tex3]x=\frac{11\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{11\pi}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{(\pi-\frac{2}{\pi})(e^{\pi}-e^{-\pi})-2(e^\pi+e^{\pi})}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos~n\frac{11\pi}{2}+b_{n}sen~n\frac{11\pi}{2})=\left(\frac{11\pi}{2}\right)^{2}.e^{\frac{11\pi}{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{(\pi-\frac{2}{\pi})(e^{\pi}-e^{-\pi})-2(e^\pi+e^{\pi})}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos~n\frac{11\pi}{2}+b_{n}sen~n\frac{11\pi}{2})=\left(\frac{11\pi}{2}\right)^{2}.e^{\frac{11\pi}{2}}[/tex3]

Acho que é isso

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos~n\frac{11\pi}{2}+b_{n}sen~n\frac{11\pi}{2})=\left(\frac{11\pi}{2}\right)^{2}.e^{\frac{11\pi}{2}}-\frac{(\pi-\frac{2}{\pi})(e^{\pi}-e^{-\pi})-2(e^\pi+e^{\pi})}{2}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos~n\frac{11\pi}{2}+b_{n}sen~n\frac{11\pi}{2})=\left(\frac{11\pi}{2}\right)^{2}.e^{\frac{11\pi}{2}}-\frac{(\pi-\frac{2}{\pi})(e^{\pi}-e^{-\pi})-2(e^\pi+e^{\pi})}{2}[/tex3]