Ensino SuperiorDerivada

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minato
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Derivada

Mensagem não lida por minato »

Determinar a derivada das funções:
a) [tex3]y = \frac 1 8 \ln \left(\frac{1- \cos 2x}{1 + \cos 2x} \right)[/tex3]

b) [tex3]y = e^{\ln x}[/tex3]

c) [tex3]y = x^x[/tex3]

Última edição: minato (Qua 01 Fev, 2017 10:50). Total de 2 vezes.



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LucasPinafi
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Re: Derivada

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Olá, Minato.
a) Para derivar tal função, utilizamos a regra da cadeia. Faça [tex3]u = \frac{1- \cos 2x}{1+ \cos 2x}[/tex3] . Assim, sua nova função, em termos de [tex3]u[/tex3] , será [tex3]y = \frac 1 8 \ln \left ( u \right)[/tex3] . Lembrando o que a regra da cadeia diz [tex3]\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}[/tex3] . Inicialmente, vamos calcular [tex3]\frac{dy}{du}[/tex3] . Temos que [tex3]y(u) = \frac 1 8 \ln u[/tex3] , então [tex3]\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \left( \frac 1 8 \ln u \right) = \frac 1 8 \cdot \frac 1 u[/tex3] , pois a derivada de ln(u), em relação a u, é 1/u. Agora, devemos calcular [tex3]\frac{du}{dx}[/tex3] . Como [tex3]u = \frac{1-\cos 2x}{1+ \cos 2x}[/tex3] , segue que [tex3]\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left( \frac{1- \cos 2x}{1+ \cos 2x}\right)= \frac{(1-\cos 2x )' (1+\cos 2x) - (1-\cos 2x) (1+\cos 2x)'}{\left(1+\cos 2x\right)^2}[/tex3] , onde foi utilizado a regra do quociente. Como [tex3](1- \cos 2x )' = 2 \sin 2x[/tex3] e [tex3](1+\cos 2x)' = - 2 \sin 2x[/tex3] , segue que [tex3]\frac{du}{dx} = \frac{2 \sin 2x (1+ \cos 2x) + 2 \sin 2x (1- \cos 2x)}{(1+ \cos 2x)^2} = \frac{4 \sin 2x}{(1+\cos 2x)^2}[/tex3] . Completando a solução, temos que a derivada da solução é [tex3]\frac{dy}{dx} = \frac 1 8 \cdot \frac{1}{u}\cdot \frac{4 \sin 2x}{(1+\cos 2x)^2}[/tex3] . Substituindo o valor de [tex3]u[/tex3] na equação acima, temos, finalmente, [tex3]\frac{dy}{dx} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1+ \cos 2x}{1- \cos 2x} \cdot \frac{4 \sin 2x}{(1+\cos 2x)^2} = \frac{4 \sin 2x }{8(1-\cos^2 2x)}= \frac{\sin 2x}{2( \sin^2 2x)} = \frac{1}{2 \sin 2x}[/tex3]
b) Veja que [tex3]e^{\ln x } = x[/tex3] para qualquer x real. Isso decorre do fato do ln e a exponencial serem funções inversas. Então [tex3]y' = (x)' = 1[/tex3] .
c) [tex3]y = x^x = e^{\ln x^x}[/tex3] , onde utilizamos a propriedade explicada em b). Logo, [tex3]y = e^{x \ln x}[/tex3] , onde foi utilizado a propriedade operatória do ln. Agora, basta derivar isso. Faça como em a, tomando u = xln(x) e use a regra da cadeia. Vou fazer de modo mais direto, mas tente seguir o raciocínio.
[tex3]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} e^{x \ln x} = (x \ln x) ' e^{x\ln x} = (\ln x + 1)x^x[/tex3]

Última edição: LucasPinafi (Qua 01 Fev, 2017 11:19). Total de 1 vez.


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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minato
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Re: Derivada

Mensagem não lida por minato »

Obrigado! Mas não poderia me explicar como fez essa parte do primeiro:

8 * (1- cos2x) * [(1 + cos2x)^2] = 8[1 - cos^2(2x)]

Não entendi




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