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jhgbonfim

Olá! Esse exercício é bem fundamental e, por mais fundamental que seja, tenho certas dúvidas no assunto e tô estancado nessa questão

"Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador linear T : V → V associados a um autovalor λ é um subespaço vetorial de V."

Desde já grato,
Att., José.

Dado um espaço vetorial, [tex3]V[/tex3] , dizemos que [tex3]W[/tex3] é um subespaço vetorial de [tex3]V[/tex3] , se:
i) [tex3]\forall v, w \in V \Longrightarrow v + w \in W[/tex3]
ii) [tex3]\forall v\in V , \forall \alpha \in \mathbb{R} \Longrightarrow a\cdot w \in W[/tex3]
onde (+) e [tex3](\cdot)[/tex3] são as operações de soma e multiplicação por escalar.
Um autovetor de uma operação linear, é um vetor [tex3]v\in V[/tex3] tal que dada a operação [tex3]T:V\to V[/tex3] , [tex3]Tv = \lambda v[/tex3] , onde [tex3]\lambda \in \mathbb R[/tex3] e [tex3]\lambda[/tex3] é um escalar. Queremos mostrar que o conjunto desses vetores formam um subespaço vetorial em [tex3]V[/tex3] . Para isso, devemos testar i) e ii) ditos acima.
i) [tex3]Tv_1 = \lambda v_1[/tex3] e [tex3]Tv_2 = \lambda v_2[/tex3] (somando-se essas equações membro a membro):
[tex3]Tv_1 + Tv_2 = \lambda v_1 + \lambda v_2[/tex3] (usando o fato que [tex3]T[/tex3] é linear)
[tex3]T(v_1+ v_2) =\lambda (v_1 + v_2 )[/tex3] o que mostra que [tex3]v_1 + v_2[/tex3] é um autovetor.
ii) [tex3]Tv_1 = \lambda v_1[/tex3] . Multiplicando membro a membro por [tex3]\alpha \in \mathbb R[/tex3] ,
[tex3]\alpha (Tv_1) = \alpha (\lambda v_1) \Longrightarrow T(\alpha v_1) = \lambda ( \alpha v_1)[/tex3] o que mostra que [tex3]\alpha v_1[/tex3] é um autovetor.

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