Olá! Esse exercício é bem fundamental e, por mais fundamental que seja, tenho certas dúvidas no assunto e tô estancado nessa questão
"Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador linear T : V → V associados a um autovalor λ é um subespaço vetorial de V."
Desde já grato,
Att., José.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear: Autovetores e Autovalores
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2017
20
15:39
Álgebra Linear: Autovetores e Autovalores
Editado pela última vez por jhgbonfim em 20 Jan 2017, 16:19, em um total de 1 vez.
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LucasPinafi
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Jan 2017
22
18:35
Re: Álgebra Linear: Autovetores e Autovalores
Dado um espaço vetorial, [tex3]V[/tex3]
, dizemos que [tex3]W[/tex3]
é um subespaço vetorial de [tex3]V[/tex3]
, se:
i) [tex3]\forall v, w \in V \Longrightarrow v + w \in W[/tex3]
ii) [tex3]\forall v\in V , \forall \alpha \in \mathbb{R} \Longrightarrow a\cdot w \in W[/tex3]
onde (+) e [tex3](\cdot)[/tex3] são as operações de soma e multiplicação por escalar.
Um autovetor de uma operação linear, é um vetor [tex3]v\in V[/tex3] tal que dada a operação [tex3]T:V\to V[/tex3] , [tex3]Tv = \lambda v[/tex3] , onde [tex3]\lambda \in \mathbb R[/tex3] e [tex3]\lambda[/tex3] é um escalar. Queremos mostrar que o conjunto desses vetores formam um subespaço vetorial em [tex3]V[/tex3] . Para isso, devemos testar i) e ii) ditos acima.
i) [tex3]Tv_1 = \lambda v_1[/tex3] e [tex3]Tv_2 = \lambda v_2[/tex3] (somando-se essas equações membro a membro):
[tex3]Tv_1 + Tv_2 = \lambda v_1 + \lambda v_2[/tex3] (usando o fato que [tex3]T[/tex3] é linear)
[tex3]T(v_1+ v_2) =\lambda (v_1 + v_2 )[/tex3] o que mostra que [tex3]v_1 + v_2[/tex3] é um autovetor.
ii) [tex3]Tv_1 = \lambda v_1[/tex3] . Multiplicando membro a membro por [tex3]\alpha \in \mathbb R[/tex3] ,
[tex3]\alpha (Tv_1) = \alpha (\lambda v_1) \Longrightarrow T(\alpha v_1) = \lambda ( \alpha v_1)[/tex3] o que mostra que [tex3]\alpha v_1[/tex3] é um autovetor.
i) [tex3]\forall v, w \in V \Longrightarrow v + w \in W[/tex3]
ii) [tex3]\forall v\in V , \forall \alpha \in \mathbb{R} \Longrightarrow a\cdot w \in W[/tex3]
onde (+) e [tex3](\cdot)[/tex3] são as operações de soma e multiplicação por escalar.
Um autovetor de uma operação linear, é um vetor [tex3]v\in V[/tex3] tal que dada a operação [tex3]T:V\to V[/tex3] , [tex3]Tv = \lambda v[/tex3] , onde [tex3]\lambda \in \mathbb R[/tex3] e [tex3]\lambda[/tex3] é um escalar. Queremos mostrar que o conjunto desses vetores formam um subespaço vetorial em [tex3]V[/tex3] . Para isso, devemos testar i) e ii) ditos acima.
i) [tex3]Tv_1 = \lambda v_1[/tex3] e [tex3]Tv_2 = \lambda v_2[/tex3] (somando-se essas equações membro a membro):
[tex3]Tv_1 + Tv_2 = \lambda v_1 + \lambda v_2[/tex3] (usando o fato que [tex3]T[/tex3] é linear)
[tex3]T(v_1+ v_2) =\lambda (v_1 + v_2 )[/tex3] o que mostra que [tex3]v_1 + v_2[/tex3] é um autovetor.
ii) [tex3]Tv_1 = \lambda v_1[/tex3] . Multiplicando membro a membro por [tex3]\alpha \in \mathbb R[/tex3] ,
[tex3]\alpha (Tv_1) = \alpha (\lambda v_1) \Longrightarrow T(\alpha v_1) = \lambda ( \alpha v_1)[/tex3] o que mostra que [tex3]\alpha v_1[/tex3] é um autovetor.
Editado pela última vez por LucasPinafi em 22 Jan 2017, 18:35, em um total de 1 vez.
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
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