Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita à restrição dada.
[tex3]f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} ; S=[(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}|g(x,y,z)=1][/tex3]
onde [tex3]g(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Cálculo II - Multiplicadores de Lagrange
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Mensagens: 2
- Registrado em: Dom 15 Jan, 2017 18:11
- Última visita: 18-01-17
Jan 2017
17
19:03
Cálculo II - Multiplicadores de Lagrange
Última edição: VictorBelo (Ter 17 Jan, 2017 19:03). Total de 1 vez.
Jan 2017
18
16:44
Re: Cálculo II - Multiplicadores de Lagrange
Considere que:
[tex3]g(x,y,z) = 1 \Rightarrow g(x,y,z)-1 = 0 \Rightarrow x^4+y^4+z^4-1 = 0\,\,(I)[/tex3]
Pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange:
[tex3]\nabla f = \lambda \nabla g\Rightarrow \begin{cases}
\nabla f = 2x\hat{i}+2y\hat{j}+2z\hat{k} \\
\lambda\nabla g = \lambda(4x^3\hat{i}+4y^3\hat{j}+4z^3\hat{k})
\end{cases}[/tex3]
Igualando os termos vetoriais:
[tex3]2x = 4\lambda x^3 \\
4\lambda x^3 -2x = 0\\
2\lambda x^3-x = 0\Rightarrow x(2\lambda x^2-1) = 0\\
\boxed{x = 0}\,\,\text{ou}\,\,2\lambda x^2-1 = 0\Rightarrow \boxed{x = \pm \frac{1}{\sqrt{2\lambda}}}\,\,\,(II)[/tex3]
Soluções idênticas para as variáveis [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] .
Substituindo em [tex3](I)[/tex3] :
[tex3]\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)^4+\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)^4+\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)^4 = 1\\
\frac{3}{4\lambda^2} = 1\Rightarrow \boxed{\lambda = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex3]
Agora substituindo em (II)
Valores máximos
[tex3]\begin{cases}
x=\frac{1}{\sqrt[4]{3}} \\
y=\frac{1}{\sqrt[4]{3}} \\
z=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}
\end{cases}[/tex3]
Valores mínimos
E na condição trivial que [tex3]x=0[/tex3] , [tex3]y=0[/tex3] implica que [tex3]z = 1[/tex3] , bem como [tex3]x=0[/tex3] ,[tex3]z=0[/tex3] , implica que [tex3]y=1[/tex3] , e assim por diante.
[tex3]g(x,y,z) = 1 \Rightarrow g(x,y,z)-1 = 0 \Rightarrow x^4+y^4+z^4-1 = 0\,\,(I)[/tex3]
Pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange:
[tex3]\nabla f = \lambda \nabla g\Rightarrow \begin{cases}
\nabla f = 2x\hat{i}+2y\hat{j}+2z\hat{k} \\
\lambda\nabla g = \lambda(4x^3\hat{i}+4y^3\hat{j}+4z^3\hat{k})
\end{cases}[/tex3]
Igualando os termos vetoriais:
[tex3]2x = 4\lambda x^3 \\
4\lambda x^3 -2x = 0\\
2\lambda x^3-x = 0\Rightarrow x(2\lambda x^2-1) = 0\\
\boxed{x = 0}\,\,\text{ou}\,\,2\lambda x^2-1 = 0\Rightarrow \boxed{x = \pm \frac{1}{\sqrt{2\lambda}}}\,\,\,(II)[/tex3]
Soluções idênticas para as variáveis [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] .
Substituindo em [tex3](I)[/tex3] :
[tex3]\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)^4+\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)^4+\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)^4 = 1\\
\frac{3}{4\lambda^2} = 1\Rightarrow \boxed{\lambda = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex3]
Agora substituindo em (II)
Valores máximos
[tex3]\begin{cases}
x=\frac{1}{\sqrt[4]{3}} \\
y=\frac{1}{\sqrt[4]{3}} \\
z=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}
\end{cases}[/tex3]
Valores mínimos
E na condição trivial que [tex3]x=0[/tex3] , [tex3]y=0[/tex3] implica que [tex3]z = 1[/tex3] , bem como [tex3]x=0[/tex3] ,[tex3]z=0[/tex3] , implica que [tex3]y=1[/tex3] , e assim por diante.
Última edição: miguel747 (Qua 18 Jan, 2017 16:44). Total de 1 vez.
"Agradeço pela crítica mais severa apenas se ela permanecer imparcial." - Otto Bismarck
-
- Mensagens: 2
- Registrado em: Dom 15 Jan, 2017 18:11
- Última visita: 18-01-17
Jan 2017
18
18:03
Re: Cálculo II - Multiplicadores de Lagrange
Olá miguel747, obrigado pela resposta!
Última edição: VictorBelo (Qua 18 Jan, 2017 18:05). Total de 1 vez.
Jan 2017
18
18:07
Re: Cálculo II - Multiplicadores de Lagrange
O valor das variáveis é aquela resposta.
O valor máximo da função é substituindo geral
[tex3]f(x,y, z) = \left(1/\sqrt[4]{3}\right)^2 + \left(1/\sqrt[4]{3}\right)^2+\left(1/\sqrt[4]{3}\right)^2 = \sqrt{3}[/tex3]
O valor máximo da função é substituindo geral
[tex3]f(x,y, z) = \left(1/\sqrt[4]{3}\right)^2 + \left(1/\sqrt[4]{3}\right)^2+\left(1/\sqrt[4]{3}\right)^2 = \sqrt{3}[/tex3]
Última edição: miguel747 (Qua 18 Jan, 2017 18:07). Total de 2 vezes.
"Agradeço pela crítica mais severa apenas se ela permanecer imparcial." - Otto Bismarck
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 463 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 514 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 255 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 0 Respostas
- 99 Exibições
-
Última msg por JOAODESOUSA
-
- 0 Respostas
- 302 Exibições
-
Última msg por pcrd1234