Ensino Superior ⇒ Energia Potencial Gravitacional, Cinética e Mecânica

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Fazemos um túnel através da Terra desde a superfície até o centro da Terra. Faça a hipótese bastante irreal de que a massa específica da Terra seja constante. (a) Qual é a força gravitacional exercida sobre uma partícula de massa m nesse túnel, a uma distância r (menor do que o raio da Terra) do centro da Terra? (b) Encontre uma expressão para a energia potencial gravitacional U(r) do sistema partícula-Terra em função de r. (adote U(r) = 0 para r = 0). (c) Se um objeto fosse liberado dentro do túnel na superfície terrestre, qual seria sua velocidade quando ele atingisse o centro da Terra?

Na alternativa C está o meu problema... É um tunel, penso que quando ele está em cima a enegia potencial é igual a energia total e no núcleo a cinética é total. Mas a única maneira de bater com o gabarito é se ao invés de usar U = GMm/R, eu usar E = GMm/2R e depois igualar a cinética... Não entendo porque usar uma que divide pela metade, sendo que E=U= GMm/R... Não entendo quando usar uma ou outra... Para mim, E = GMm/2R é quando as duas energias coexistem, mas não há energia cinética em cima, não entendo porque usar a formula da energia total...

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Pelo teorema de Newton, a força gravitacional no interior de um corpo varia linearmente com a distância ao centro. Isso significa que o gráfico de força por distância, para trechos menores que o raio do corpo, é uma reta. A energia será a área abaixo dessa reta. Se você for desenvolvendo as relações, irá obter que:

Código: Selecionar tudo

[tex3]g_{interno}=g_{superficie}.\frac{r}{R}[/tex3]

Queremos a área do gráfico desde r=0 até r=R. Como o gráfico é uma reta, a figura será um triângulo de base R e altura

Código: Selecionar tudo

[tex3]F_{sup}=\frac{GMm}{R^2}[/tex3]

. Então:

Código: Selecionar tudo

[tex3]E_{pg}=\frac{R.\frac{GMm}{R^2}}{2}=\frac{GMm}{2R}[/tex3]

Se você quiser se aprofundar mais no assunto de gravitação, o link abaixo tem basicamente toda a teoria envolvida no assunto:
http://www.rumoaoita.com/site/attachmen ... cicios.pdf