Ensino Superior ⇒ Derivada Implícita Tópico resolvido

[duduxo]

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente por

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[tex3]\arctan(y)+\frac{y}{x}=x-1[/tex3]

Estou com problema na hora de derivar essa equação, poderiam me ajudar?

[IgorAM]

[tex3]arctan(y) + \frac{y}{x}=x-1 \\ \\ \frac{\mathrm{d} (arctan(y)+\frac{y}{x})}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} (x-1)}{\mathrm{d} x} \\ \\ \frac{1}{1+y^2}.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+(\frac{\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}.x-y.1}{x^2})=1 \\ \\ \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}.\frac{1}{1+y^2}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}.\frac{1}{x}-\frac{y}{x^2}=1 \\ \\ \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}.(\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{x})=1+\frac{y}{x^2} \\ \\ \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}.(\frac{x+1+y^2}{(1+y^2).x})=\frac{x^2+y}{x^2} \\ \\ \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{(x^2+y)(1+y^2).x}{x^2(x+y^2+1)} \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{(x^2+y)(1+y^2)}{x(x+y^2+1)}[/tex3]

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[tex3]arctan(y) + \frac{y}{x}=x-1 \\ \\ \frac{\mathrm{d} (arctan(y)+\frac{y}{x})}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} (x-1)}{\mathrm{d} x} \\ \\ \frac{1}{1+y^2}.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+(\frac{\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}.x-y.1}{x^2})=1 \\ \\ \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}.\frac{1}{1+y^2}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}.\frac{1}{x}-\frac{y}{x^2}=1 \\ \\ \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}.(\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{x})=1+\frac{y}{x^2} \\ \\ \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}.(\frac{x+1+y^2}{(1+y^2).x})=\frac{x^2+y}{x^2} \\ \\ \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{(x^2+y)(1+y^2).x}{x^2(x+y^2+1)} \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{(x^2+y)(1+y^2)}{x(x+y^2+1)}[/tex3]

A sua duvida é na hora de derivar implicitamente o y em função de x?

[duduxo]

Sim, meu erro foi usar somente uma forma de derivação do [tex3]\frac{y}{x}[/tex3]

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[tex3]\frac{y}{x}[/tex3]

, mas consegui entender agora. Muito obrigado.