Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero 🙏)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos 🥰

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

Ensino Superior ⇒ Integral Definida/Integral Dupla

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Responder
Avatar do usuário

Autor do Tópico
LuMartins
iniciante
Mensagens: 1
Registrado em: 26 Nov 2016, 04:32
Última visita: 26-11-16
Nov 2016 26 12:18

Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por LuMartins »

Alguém pode me ajudar com esses 2 problemas ? tenho 10 questões para fazer essas 2 não estou conseguindo
[tex3]\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{x}^{3x}3 \sqrt{16-x^2} dydx[/tex3]

e

[tex3]\int\limits_{0}^{8}(\sqrt{2x} + \sqrt[3]{x}) dx[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 02 Nov 2017, 16:46, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Voltar ao topo
Avatar do usuário

olgario
2 - Nerd
Mensagens: 702
Registrado em: 02 Nov 2007, 18:04
Última visita: 15-07-23
Agradeceu: 22 vezes
Agradeceram: 79 vezes
Dez 2016 17 02:33

Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por olgario »

Olá !
Vou-lhe resolver a segunda, porque a primeira também não consegui resolver.

[tex3]\int\limits_{0}^{8}(\sqrt{2x} + \sqrt[3]{x}) dx[/tex3]

[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8}\sqrt{x}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8}\sqrt[^3]{x}dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{2}+1}dx\,+\,\int \limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}+1} dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8} \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} dx[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{3}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8}\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}dx[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(8^{\frac{3}{2}}\,-\,0^{\frac{3}{2}}\)\,+\;\frac{3}{4}\(8^{\frac{4}{3}}\,-\,0^{\frac{4}{3}}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(\sqrt{8^3}\)\,+\;\frac{3}{4}\(\sqrt[3]{8^4}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(\sqrt{512}\)\,+\;\frac{3}{4}\(\sqrt[3]{4096}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(16\cdot \sqrt{2}\)\,+\;\(\frac{3}{4}\cdot 16\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\(\sqrt{2^2}\cdot 16\)+\(\frac{3}{4}\cdot {16}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\cdot 2\cdot 16\;+\;\frac{3}{4}\cdot 16[/tex3]
[tex3]\frac{64}{3}\,+\,\frac{48}{4}[/tex3]
[tex3]\frac{(64\times4)\,+\,(48\times3)}{3\times 4}[/tex3]
[tex3]\frac{256\,+\,144}{12}[/tex3]
[tex3]\frac{400}{12}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{100}{3}}[/tex3]

Quanto à segunda:
Numa calculadora TI-Nspire CX CAS dá:
integral dupla-01.jpg
integral dupla-01.jpg (14.8 KiB) Exibido 2472 vezes
Se digitar como se segue: [tex3](int(0,8)int(x,3x)(3*sqrt(16-x^2)dy)dx[/tex3] , no WolframAlpha, dará o valor de:[tex3]128.000000000...(1+3i\sqrt{3})\approx 128.\,+\,665.108i[/tex3]

Espero que de certa forma tenha ajudado
Editado pela última vez por caju em 02 Nov 2017, 16:49, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Voltar ao topo

Loreto
1 - Trainee
Mensagens: 700
Registrado em: 13 Jul 2011, 09:52
Última visita: 01-05-24
Agradeceu: 35 vezes
Agradeceram: 19 vezes
Dez 2016 24 11:50

Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por Loreto »

Olá LuMartins, você teria a resposta desse primeiro exercício?
Voltar ao topo
Avatar do usuário

rodrigo1249
iniciante
Mensagens: 1
Registrado em: 24 Dez 2016, 20:35
Última visita: 25-12-16
Dez 2016 25 12:27

Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por rodrigo1249 »

a 1 integral é igual a 128.
[tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^{2}}dy = 6x\sqrt{16-x^{2}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{4}6x \sqrt{16-x^{2}}dx[/tex3] = 128 (use [tex3]x^{2}[/tex3] =a e da=2xdx)
Editado pela última vez por caju em 02 Nov 2017, 16:49, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Voltar ao topo
Avatar do usuário

olgario
2 - Nerd
Mensagens: 702
Registrado em: 02 Nov 2007, 18:04
Última visita: 15-07-23
Agradeceu: 22 vezes
Agradeceram: 79 vezes
Dez 2016 28 21:22

Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por olgario »

Olá! LuMartins e Rodrigo.

Começando a resolução das integrais de dentro para fora.

[tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3]

Resolvendo a integral interna [tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy[/tex3] , numa calculadora TI-Nspire CX CAS, dá: [tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3]

Aliás o WolframAlpha também diz que: [tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\;=\;6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] , e para a resolução da mesma começa por dizer:

Aplique o teorema fundamental de cálculo.

A antiderivada de [tex3]:\,\;3\sqrt{16-x^2}\;[/tex3] é [tex3]\;3\sqrt{16-x^2}\,\, y:[/tex3]

[tex3]=3\sqrt{16-x^2}\,\,y|_{y=x}^ {3x}[/tex3]

Avaliar a antiderivada dos limites e subtrair.

Mas como não estou inscrito naquela plataforma, ela não me mostra mais passos para além destes.
Rodrigo! Como você procedeu com [tex3]\;\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\;[/tex3] para chegar na expressão [tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] ?

Também foi pelo WolframAlpha? Ou foi pelo seu raciocínio ? É que a integral desta expressão, [tex3]6x\sqrt{16-x^2}\,\,[/tex3] com limites de [tex3][0,4][/tex3] e em relação a [tex3]dx,\,[/tex3] ou seja, a externa, eu já resolvi de modo a chegar no valor [tex3]\;128,[/tex3] que é a solução.
O busílis da questão é resolver a interna em ordem a [tex3]dy,\,[/tex3] mas, sem calculadoras e WolframAlpha, ou talvez através deste, se houver alguém que esteja inscrito e consiga o método passo a passo e os coloque aqui, de modo a sabermos como chegar em: [tex3]6x\sqrt{16-x^2}.[/tex3]
Se algum de vocês já o conseguiu, ou quem sabe, outro usuário que perceba mais do assunto e me/ou nos queira ajudar, ficaria imensamente grato se procedessem à respectiva postagem.
Grato
Olgario

LuMartins
Se entretanto ainda não conseguiu resolver a externa: [tex3]\,\int\limits_{0}^{4}6x\sqrt{16-x^2}dx\,,[/tex3] diga, que eu procedo à respectiva postagem.
Editado pela última vez por caju em 02 Nov 2017, 16:50, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Voltar ao topo

Auto Excluído (ID:17092)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Dez 2016 28 22:17

Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17092) »

Olá, LuMartins, Olgario, Loreto e Rodrigo!

Pelo meu conhecimento de Cálculo, uma expressão do tipo:
[tex3]\int^{x_{sup.}}_{x_{inf.}}a dx[/tex3] , onde a [tex3]\neq[/tex3] 0 é a integral de uma constante (um número ou letra que não depende da variável).
O mesmo raciocínio pode ser aplicado ao "meio" da integral:
[tex3]\int\limits_{x}^{3x}(3\sqrt{16-x^2})dy = (3\sqrt{16-x^2})y]^{3x}_{x} = 3x(3\sqrt{16-x^2}) - x(3\sqrt{16-x^2}) = 2x(3\sqrt{16-x^2})[/tex3] = ´[tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3]
Com a solução da primeira etapa, nós podemos avançar com a segunda. Na segunda, nós vamos utilizar o método da substituição de variáveis:
[tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3] , mas [tex3]\int\limits_{x}^{3x}(3\sqrt{16-x^2})dy[/tex3] = ´[tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] :
[tex3]\int\limits_{0}^{4} (6x\sqrt{16-x^2})dx[/tex3]
Fazendo x² = t (raciocínio de Rodrigo):
[tex3]\frac{dt}{dx} =2x[/tex3] => dt = (2x)dx
Substituindo os limites superiores e inferiores da integral anterior:
[tex3]t_{sup.} = (x_{sup.})^2[/tex3] , mas [tex3]x_{sup.} = 4[/tex3] :
[tex3]t_{sup.} = 4^2[/tex3] => [tex3]t_{sup.} = 16[/tex3]
[tex3]t_{inf.} = (x_{inf.})^2[/tex3] , mas [tex3]x_{inf.} = 0[/tex3] :
[tex3]t_{inf.} = 0^2[/tex3] => [tex3]t_{inf.} = 0[/tex3]
Logo, a nossa nova integral será:
[tex3]\int\limits_{0}^{4} (6x\sqrt{16-x^2})dx = \int\limits_{0}^{4}3(\sqrt{16-x^2})2xdx = \int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt[/tex3]
Podemos aplicar novamente o método da substituição de variáveis:
[tex3]\int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt[/tex3]
Fazendo r = 16 - t:
[tex3]\frac{dr}{dt} =-1[/tex3] => dr = -dt
Substituindo os limites superiores e inferiores da integral anterior:
[tex3]r_{sup.} = 16 - t_{sup.}[/tex3] , mas [tex3]t_{sup.} = 16[/tex3] :
[tex3]r_{sup.} = 16 -16[/tex3] => [tex3]r_{sup.} = 0[/tex3]
[tex3]r_{inf.} = 16 - t_{inf.}[/tex3] , mas [tex3]t_{inf.} = 0[/tex3] :
[tex3]r_{inf.} = 16 - 0[/tex3] => [tex3]r_{inf.} = 16[/tex3]
Daí, a nova integral terá a seguinte cara:
[tex3]\int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt = \int\limits_{0}^{16} (-3)\cdot(\sqrt{16-t})\cdot(-dt) = \int\limits_{16}^{0} -3\sqrt{r}dr = \int\limits_{0}^{16}3\sqrt{r}dr = 3\frac{r^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2} + 1}\bigg]^{16}_0 = \frac{3r^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg]^{16}_0 = 2\sqrt{r^3}\bigg]^{16}_0 = 2\sqrt{16^3} - {2\sqrt{0^3}} = 2\sqrt{(4^2)^3}-0 = 2\sqrt{(4^3)^2} = 2\cdot4^3[/tex3] = 128
Portanto, [tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3] = 128.

Comentário: Que saudade das aulas de Cálculo! Espero voltar ao ensino superior logo.

Bons estudos!
Editado pela última vez por caju em 02 Nov 2017, 16:52, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Voltar ao topo
Avatar do usuário

olgario
2 - Nerd
Mensagens: 702
Registrado em: 02 Nov 2007, 18:04
Última visita: 15-07-23
Agradeceu: 22 vezes
Agradeceram: 79 vezes
Dez 2016 29 05:09

Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por olgario »

Olá Bernoulli, e a todos os restantes.

Uma vez obtida a integral: [tex3]\int\limits_{0}^{4}6x\sqrt{16-x^2}\,dx[/tex3]

Fazendo [tex3]u=16-x^2\;\;[/tex3]
[tex3]\frac{du}{dx}=-2x[/tex3]
[tex3]du=-2xdx[/tex3]
[tex3]xdx=\frac{du}{-2}[/tex3]

Passando o inteiro [tex3]\,6\,[/tex3] para fora da integral, e a variável [tex3]x[/tex3] que estava multiplicando por ele para junto de [tex3]dx[/tex3] , vamos ter:

[tex3]6\int\limits_{0}^{4}\sqrt{16-x^2}\,xdx[/tex3]

e deste modo podemos enunciar:

[tex3]6\int\limits_{0}^{4}\sqrt{u}\(-\frac{du}{2}\)\;\,=\;\,6\int\limits_{0}^{4}{u}^{\frac{1}{2}}\(-\frac{du}{2}\)\;\,=\,-\frac{6}{2}\int\limits_{0}^{4}u^{\frac{1}{2}}du\;\,=\;\,-3\cdot\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\,\,=\;\,-3\cdot\frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}\;\,=\;\,-\frac{6}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}=\,-2\cdot u^{\frac{3}{2}}\,=-2(16-x^2)^{\frac{3}{2}}=\,-2\sqrt{(16-x^2)^3}\| _{0}^{4}[/tex3]

[tex3]\[-2\sqrt{(16-4^2)^3}\]\,-\;\[-2\sqrt{(16-0^2)^3}\]\;\;=\;\,0\,\,-\,\,(-128)\;=\;\boxed{128}[/tex3]

Creio não ter cometido nenhuma "gafe". Se por acaso o fiz, por favor, me corrijam.
Editado pela última vez por caju em 02 Nov 2017, 16:54, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Voltar ao topo
Responder

Crie uma conta ou entre para participar dessa discussão

Você precisa ser um membro para postar uma resposta

Crie uma nova conta

Ainda não é um membro? Registre-se agora!
Membro pode iniciar seus próprios tópicos e inscrever-se no dos outros para ser notificado sobre atualizações.
É gratuito e leva apenas 1 minuto

Registrar

Entrar

  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem
  • Nova mensagem Integral Definida
    por adailton » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    285 Exibições
    Última mensagem por aleixoreis
  • Nova mensagem Integral definida
    por Mirela » » em Ensino Superior
    2 Respostas
    475 Exibições
    Última mensagem por Mirela
  • Nova mensagem Integral Definida
    por jrneliodias » » em Ensino Superior
    3 Respostas
    457 Exibições
    Última mensagem por jedi
  • Nova mensagem Integral definida
    por Mirela » » em Ensino Superior
    6 Respostas
    1058 Exibições
    Última mensagem por Auto Excluído (ID:12031)
  • Nova mensagem Integral Definida
    por AlRc » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    334 Exibições
    Última mensagem por Rafa2604

Voltar para “Ensino Superior”