Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Integral Definida/Integral Dupla
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2016
26
12:18
Integral Definida/Integral Dupla
Alguém pode me ajudar com esses 2 problemas ? tenho 10 questões para fazer essas 2 não estou conseguindo
[tex3]\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{x}^{3x}3 \sqrt{16-x^2} dydx[/tex3]
e
[tex3]\int\limits_{0}^{8}(\sqrt{2x} + \sqrt[3]{x}) dx[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{x}^{3x}3 \sqrt{16-x^2} dydx[/tex3]
e
[tex3]\int\limits_{0}^{8}(\sqrt{2x} + \sqrt[3]{x}) dx[/tex3]
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Dez 2016
17
02:33
Re: Integral Definida/Integral Dupla
Olá !
Vou-lhe resolver a segunda, porque a primeira também não consegui resolver.
[tex3]\int\limits_{0}^{8}(\sqrt{2x} + \sqrt[3]{x}) dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8}\sqrt{x}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8}\sqrt[^3]{x}dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{2}+1}dx\,+\,\int \limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}+1} dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8} \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} dx[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{3}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8}\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}dx[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(8^{\frac{3}{2}}\,-\,0^{\frac{3}{2}}\)\,+\;\frac{3}{4}\(8^{\frac{4}{3}}\,-\,0^{\frac{4}{3}}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(\sqrt{8^3}\)\,+\;\frac{3}{4}\(\sqrt[3]{8^4}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(\sqrt{512}\)\,+\;\frac{3}{4}\(\sqrt[3]{4096}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(16\cdot \sqrt{2}\)\,+\;\(\frac{3}{4}\cdot 16\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\(\sqrt{2^2}\cdot 16\)+\(\frac{3}{4}\cdot {16}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\cdot 2\cdot 16\;+\;\frac{3}{4}\cdot 16[/tex3]
[tex3]\frac{64}{3}\,+\,\frac{48}{4}[/tex3]
[tex3]\frac{(64\times4)\,+\,(48\times3)}{3\times 4}[/tex3]
[tex3]\frac{256\,+\,144}{12}[/tex3]
[tex3]\frac{400}{12}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{100}{3}}[/tex3]
Quanto à segunda:
Numa calculadora TI-Nspire CX CAS dá: Se digitar como se segue: [tex3](int(0,8)int(x,3x)(3*sqrt(16-x^2)dy)dx[/tex3] , no WolframAlpha, dará o valor de:[tex3]128.000000000...(1+3i\sqrt{3})\approx 128.\,+\,665.108i[/tex3]
Espero que de certa forma tenha ajudado
Vou-lhe resolver a segunda, porque a primeira também não consegui resolver.
[tex3]\int\limits_{0}^{8}(\sqrt{2x} + \sqrt[3]{x}) dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8}\sqrt{x}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8}\sqrt[^3]{x}dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{2}+1}dx\,+\,\int \limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}+1} dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8} \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} dx[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{3}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8}\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}dx[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(8^{\frac{3}{2}}\,-\,0^{\frac{3}{2}}\)\,+\;\frac{3}{4}\(8^{\frac{4}{3}}\,-\,0^{\frac{4}{3}}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(\sqrt{8^3}\)\,+\;\frac{3}{4}\(\sqrt[3]{8^4}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(\sqrt{512}\)\,+\;\frac{3}{4}\(\sqrt[3]{4096}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(16\cdot \sqrt{2}\)\,+\;\(\frac{3}{4}\cdot 16\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\(\sqrt{2^2}\cdot 16\)+\(\frac{3}{4}\cdot {16}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\cdot 2\cdot 16\;+\;\frac{3}{4}\cdot 16[/tex3]
[tex3]\frac{64}{3}\,+\,\frac{48}{4}[/tex3]
[tex3]\frac{(64\times4)\,+\,(48\times3)}{3\times 4}[/tex3]
[tex3]\frac{256\,+\,144}{12}[/tex3]
[tex3]\frac{400}{12}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{100}{3}}[/tex3]
Quanto à segunda:
Numa calculadora TI-Nspire CX CAS dá: Se digitar como se segue: [tex3](int(0,8)int(x,3x)(3*sqrt(16-x^2)dy)dx[/tex3] , no WolframAlpha, dará o valor de:[tex3]128.000000000...(1+3i\sqrt{3})\approx 128.\,+\,665.108i[/tex3]
Espero que de certa forma tenha ajudado
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Dez 2016
24
11:50
Re: Integral Definida/Integral Dupla
Olá LuMartins, você teria a resposta desse primeiro exercício?
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Dez 2016
25
12:27
Re: Integral Definida/Integral Dupla
a 1 integral é igual a 128.
[tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^{2}}dy = 6x\sqrt{16-x^{2}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{4}6x \sqrt{16-x^{2}}dx[/tex3] = 128 (use [tex3]x^{2}[/tex3] =a e da=2xdx)
[tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^{2}}dy = 6x\sqrt{16-x^{2}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{4}6x \sqrt{16-x^{2}}dx[/tex3] = 128 (use [tex3]x^{2}[/tex3] =a e da=2xdx)
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Dez 2016
28
21:22
Re: Integral Definida/Integral Dupla
Olá! LuMartins e Rodrigo.
Começando a resolução das integrais de dentro para fora.
[tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3]
Resolvendo a integral interna [tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy[/tex3] , numa calculadora TI-Nspire CX CAS, dá: [tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3]
Aliás o WolframAlpha também diz que: [tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\;=\;6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] , e para a resolução da mesma começa por dizer:
Aplique o teorema fundamental de cálculo.
A antiderivada de [tex3]:\,\;3\sqrt{16-x^2}\;[/tex3] é [tex3]\;3\sqrt{16-x^2}\,\, y:[/tex3]
[tex3]=3\sqrt{16-x^2}\,\,y|_{y=x}^ {3x}[/tex3]
Avaliar a antiderivada dos limites e subtrair.
Mas como não estou inscrito naquela plataforma, ela não me mostra mais passos para além destes.
Rodrigo! Como você procedeu com [tex3]\;\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\;[/tex3] para chegar na expressão [tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] ?
Também foi pelo WolframAlpha? Ou foi pelo seu raciocínio ? É que a integral desta expressão, [tex3]6x\sqrt{16-x^2}\,\,[/tex3] com limites de [tex3][0,4][/tex3] e em relação a [tex3]dx,\,[/tex3] ou seja, a externa, eu já resolvi de modo a chegar no valor [tex3]\;128,[/tex3] que é a solução.
O busílis da questão é resolver a interna em ordem a [tex3]dy,\,[/tex3] mas, sem calculadoras e WolframAlpha, ou talvez através deste, se houver alguém que esteja inscrito e consiga o método passo a passo e os coloque aqui, de modo a sabermos como chegar em: [tex3]6x\sqrt{16-x^2}.[/tex3]
Se algum de vocês já o conseguiu, ou quem sabe, outro usuário que perceba mais do assunto e me/ou nos queira ajudar, ficaria imensamente grato se procedessem à respectiva postagem.
Grato
Olgario
LuMartins
Se entretanto ainda não conseguiu resolver a externa: [tex3]\,\int\limits_{0}^{4}6x\sqrt{16-x^2}dx\,,[/tex3] diga, que eu procedo à respectiva postagem.
Começando a resolução das integrais de dentro para fora.
[tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3]
Resolvendo a integral interna [tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy[/tex3] , numa calculadora TI-Nspire CX CAS, dá: [tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3]
Aliás o WolframAlpha também diz que: [tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\;=\;6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] , e para a resolução da mesma começa por dizer:
Aplique o teorema fundamental de cálculo.
A antiderivada de [tex3]:\,\;3\sqrt{16-x^2}\;[/tex3] é [tex3]\;3\sqrt{16-x^2}\,\, y:[/tex3]
[tex3]=3\sqrt{16-x^2}\,\,y|_{y=x}^ {3x}[/tex3]
Avaliar a antiderivada dos limites e subtrair.
Mas como não estou inscrito naquela plataforma, ela não me mostra mais passos para além destes.
Rodrigo! Como você procedeu com [tex3]\;\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\;[/tex3] para chegar na expressão [tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] ?
Também foi pelo WolframAlpha? Ou foi pelo seu raciocínio ? É que a integral desta expressão, [tex3]6x\sqrt{16-x^2}\,\,[/tex3] com limites de [tex3][0,4][/tex3] e em relação a [tex3]dx,\,[/tex3] ou seja, a externa, eu já resolvi de modo a chegar no valor [tex3]\;128,[/tex3] que é a solução.
O busílis da questão é resolver a interna em ordem a [tex3]dy,\,[/tex3] mas, sem calculadoras e WolframAlpha, ou talvez através deste, se houver alguém que esteja inscrito e consiga o método passo a passo e os coloque aqui, de modo a sabermos como chegar em: [tex3]6x\sqrt{16-x^2}.[/tex3]
Se algum de vocês já o conseguiu, ou quem sabe, outro usuário que perceba mais do assunto e me/ou nos queira ajudar, ficaria imensamente grato se procedessem à respectiva postagem.
Grato
Olgario
LuMartins
Se entretanto ainda não conseguiu resolver a externa: [tex3]\,\int\limits_{0}^{4}6x\sqrt{16-x^2}dx\,,[/tex3] diga, que eu procedo à respectiva postagem.
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Dez 2016
28
22:17
Re: Integral Definida/Integral Dupla
Olá, LuMartins, Olgario, Loreto e Rodrigo!
Pelo meu conhecimento de Cálculo, uma expressão do tipo:
[tex3]\int^{x_{sup.}}_{x_{inf.}}a dx[/tex3] , onde a [tex3]\neq[/tex3] 0 é a integral de uma constante (um número ou letra que não depende da variável).
O mesmo raciocínio pode ser aplicado ao "meio" da integral:
[tex3]\int\limits_{x}^{3x}(3\sqrt{16-x^2})dy = (3\sqrt{16-x^2})y]^{3x}_{x} = 3x(3\sqrt{16-x^2}) - x(3\sqrt{16-x^2}) = 2x(3\sqrt{16-x^2})[/tex3] = ´[tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3]
Com a solução da primeira etapa, nós podemos avançar com a segunda. Na segunda, nós vamos utilizar o método da substituição de variáveis:
[tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3] , mas [tex3]\int\limits_{x}^{3x}(3\sqrt{16-x^2})dy[/tex3] = ´[tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] :
[tex3]\int\limits_{0}^{4} (6x\sqrt{16-x^2})dx[/tex3]
Fazendo x² = t (raciocínio de Rodrigo):
[tex3]\frac{dt}{dx} =2x[/tex3] => dt = (2x)dx
Substituindo os limites superiores e inferiores da integral anterior:
[tex3]t_{sup.} = (x_{sup.})^2[/tex3] , mas [tex3]x_{sup.} = 4[/tex3] :
[tex3]t_{sup.} = 4^2[/tex3] => [tex3]t_{sup.} = 16[/tex3]
[tex3]t_{inf.} = (x_{inf.})^2[/tex3] , mas [tex3]x_{inf.} = 0[/tex3] :
[tex3]t_{inf.} = 0^2[/tex3] => [tex3]t_{inf.} = 0[/tex3]
Logo, a nossa nova integral será:
[tex3]\int\limits_{0}^{4} (6x\sqrt{16-x^2})dx = \int\limits_{0}^{4}3(\sqrt{16-x^2})2xdx = \int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt[/tex3]
Podemos aplicar novamente o método da substituição de variáveis:
[tex3]\int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt[/tex3]
Fazendo r = 16 - t:
[tex3]\frac{dr}{dt} =-1[/tex3] => dr = -dt
Substituindo os limites superiores e inferiores da integral anterior:
[tex3]r_{sup.} = 16 - t_{sup.}[/tex3] , mas [tex3]t_{sup.} = 16[/tex3] :
[tex3]r_{sup.} = 16 -16[/tex3] => [tex3]r_{sup.} = 0[/tex3]
[tex3]r_{inf.} = 16 - t_{inf.}[/tex3] , mas [tex3]t_{inf.} = 0[/tex3] :
[tex3]r_{inf.} = 16 - 0[/tex3] => [tex3]r_{inf.} = 16[/tex3]
Daí, a nova integral terá a seguinte cara:
[tex3]\int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt = \int\limits_{0}^{16} (-3)\cdot(\sqrt{16-t})\cdot(-dt) = \int\limits_{16}^{0} -3\sqrt{r}dr = \int\limits_{0}^{16}3\sqrt{r}dr = 3\frac{r^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2} + 1}\bigg]^{16}_0 = \frac{3r^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg]^{16}_0 = 2\sqrt{r^3}\bigg]^{16}_0 = 2\sqrt{16^3} - {2\sqrt{0^3}} = 2\sqrt{(4^2)^3}-0 = 2\sqrt{(4^3)^2} = 2\cdot4^3[/tex3] = 128
Portanto, [tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3] = 128.
Comentário: Que saudade das aulas de Cálculo! Espero voltar ao ensino superior logo.
Bons estudos!
Pelo meu conhecimento de Cálculo, uma expressão do tipo:
[tex3]\int^{x_{sup.}}_{x_{inf.}}a dx[/tex3] , onde a [tex3]\neq[/tex3] 0 é a integral de uma constante (um número ou letra que não depende da variável).
O mesmo raciocínio pode ser aplicado ao "meio" da integral:
[tex3]\int\limits_{x}^{3x}(3\sqrt{16-x^2})dy = (3\sqrt{16-x^2})y]^{3x}_{x} = 3x(3\sqrt{16-x^2}) - x(3\sqrt{16-x^2}) = 2x(3\sqrt{16-x^2})[/tex3] = ´[tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3]
Com a solução da primeira etapa, nós podemos avançar com a segunda. Na segunda, nós vamos utilizar o método da substituição de variáveis:
[tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3] , mas [tex3]\int\limits_{x}^{3x}(3\sqrt{16-x^2})dy[/tex3] = ´[tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] :
[tex3]\int\limits_{0}^{4} (6x\sqrt{16-x^2})dx[/tex3]
Fazendo x² = t (raciocínio de Rodrigo):
[tex3]\frac{dt}{dx} =2x[/tex3] => dt = (2x)dx
Substituindo os limites superiores e inferiores da integral anterior:
[tex3]t_{sup.} = (x_{sup.})^2[/tex3] , mas [tex3]x_{sup.} = 4[/tex3] :
[tex3]t_{sup.} = 4^2[/tex3] => [tex3]t_{sup.} = 16[/tex3]
[tex3]t_{inf.} = (x_{inf.})^2[/tex3] , mas [tex3]x_{inf.} = 0[/tex3] :
[tex3]t_{inf.} = 0^2[/tex3] => [tex3]t_{inf.} = 0[/tex3]
Logo, a nossa nova integral será:
[tex3]\int\limits_{0}^{4} (6x\sqrt{16-x^2})dx = \int\limits_{0}^{4}3(\sqrt{16-x^2})2xdx = \int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt[/tex3]
Podemos aplicar novamente o método da substituição de variáveis:
[tex3]\int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt[/tex3]
Fazendo r = 16 - t:
[tex3]\frac{dr}{dt} =-1[/tex3] => dr = -dt
Substituindo os limites superiores e inferiores da integral anterior:
[tex3]r_{sup.} = 16 - t_{sup.}[/tex3] , mas [tex3]t_{sup.} = 16[/tex3] :
[tex3]r_{sup.} = 16 -16[/tex3] => [tex3]r_{sup.} = 0[/tex3]
[tex3]r_{inf.} = 16 - t_{inf.}[/tex3] , mas [tex3]t_{inf.} = 0[/tex3] :
[tex3]r_{inf.} = 16 - 0[/tex3] => [tex3]r_{inf.} = 16[/tex3]
Daí, a nova integral terá a seguinte cara:
[tex3]\int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt = \int\limits_{0}^{16} (-3)\cdot(\sqrt{16-t})\cdot(-dt) = \int\limits_{16}^{0} -3\sqrt{r}dr = \int\limits_{0}^{16}3\sqrt{r}dr = 3\frac{r^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2} + 1}\bigg]^{16}_0 = \frac{3r^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg]^{16}_0 = 2\sqrt{r^3}\bigg]^{16}_0 = 2\sqrt{16^3} - {2\sqrt{0^3}} = 2\sqrt{(4^2)^3}-0 = 2\sqrt{(4^3)^2} = 2\cdot4^3[/tex3] = 128
Portanto, [tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3] = 128.
Comentário: Que saudade das aulas de Cálculo! Espero voltar ao ensino superior logo.
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Dez 2016
29
05:09
Re: Integral Definida/Integral Dupla
Olá Bernoulli, e a todos os restantes.
Uma vez obtida a integral: [tex3]\int\limits_{0}^{4}6x\sqrt{16-x^2}\,dx[/tex3]
Fazendo [tex3]u=16-x^2\;\;[/tex3]
[tex3]\frac{du}{dx}=-2x[/tex3]
[tex3]du=-2xdx[/tex3]
[tex3]xdx=\frac{du}{-2}[/tex3]
Passando o inteiro [tex3]\,6\,[/tex3] para fora da integral, e a variável [tex3]x[/tex3] que estava multiplicando por ele para junto de [tex3]dx[/tex3] , vamos ter:
[tex3]6\int\limits_{0}^{4}\sqrt{16-x^2}\,xdx[/tex3]
e deste modo podemos enunciar:
[tex3]6\int\limits_{0}^{4}\sqrt{u}\(-\frac{du}{2}\)\;\,=\;\,6\int\limits_{0}^{4}{u}^{\frac{1}{2}}\(-\frac{du}{2}\)\;\,=\,-\frac{6}{2}\int\limits_{0}^{4}u^{\frac{1}{2}}du\;\,=\;\,-3\cdot\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\,\,=\;\,-3\cdot\frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}\;\,=\;\,-\frac{6}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}=\,-2\cdot u^{\frac{3}{2}}\,=-2(16-x^2)^{\frac{3}{2}}=\,-2\sqrt{(16-x^2)^3}\| _{0}^{4}[/tex3]
[tex3]\[-2\sqrt{(16-4^2)^3}\]\,-\;\[-2\sqrt{(16-0^2)^3}\]\;\;=\;\,0\,\,-\,\,(-128)\;=\;\boxed{128}[/tex3]
Creio não ter cometido nenhuma "gafe". Se por acaso o fiz, por favor, me corrijam.
Uma vez obtida a integral: [tex3]\int\limits_{0}^{4}6x\sqrt{16-x^2}\,dx[/tex3]
Fazendo [tex3]u=16-x^2\;\;[/tex3]
[tex3]\frac{du}{dx}=-2x[/tex3]
[tex3]du=-2xdx[/tex3]
[tex3]xdx=\frac{du}{-2}[/tex3]
Passando o inteiro [tex3]\,6\,[/tex3] para fora da integral, e a variável [tex3]x[/tex3] que estava multiplicando por ele para junto de [tex3]dx[/tex3] , vamos ter:
[tex3]6\int\limits_{0}^{4}\sqrt{16-x^2}\,xdx[/tex3]
e deste modo podemos enunciar:
[tex3]6\int\limits_{0}^{4}\sqrt{u}\(-\frac{du}{2}\)\;\,=\;\,6\int\limits_{0}^{4}{u}^{\frac{1}{2}}\(-\frac{du}{2}\)\;\,=\,-\frac{6}{2}\int\limits_{0}^{4}u^{\frac{1}{2}}du\;\,=\;\,-3\cdot\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\,\,=\;\,-3\cdot\frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}\;\,=\;\,-\frac{6}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}=\,-2\cdot u^{\frac{3}{2}}\,=-2(16-x^2)^{\frac{3}{2}}=\,-2\sqrt{(16-x^2)^3}\| _{0}^{4}[/tex3]
[tex3]\[-2\sqrt{(16-4^2)^3}\]\,-\;\[-2\sqrt{(16-0^2)^3}\]\;\;=\;\,0\,\,-\,\,(-128)\;=\;\boxed{128}[/tex3]
Creio não ter cometido nenhuma "gafe". Se por acaso o fiz, por favor, me corrijam.
Editado pela última vez por caju em 02 Nov 2017, 16:54, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
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