Ensino SuperiorIntegral Definida/Integral Dupla

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LuMartins
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Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por LuMartins » Sáb 26 Nov, 2016 12:18

Alguém pode me ajudar com esses 2 problemas ? tenho 10 questões para fazer essas 2 não estou conseguindo
[tex3]\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{x}^{3x}3 \sqrt{16-x^2} dydx[/tex3]

e

[tex3]\int\limits_{0}^{8}(\sqrt{2x} + \sqrt[3]{x}) dx[/tex3]

Última edição: caju (Qui 02 Nov, 2017 16:46). Total de 2 vezes.
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Dez 2016 17 02:33

Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por olgario » Sáb 17 Dez, 2016 02:33

Olá !
Vou-lhe resolver a segunda, porque a primeira também não consegui resolver.

[tex3]\int\limits_{0}^{8}(\sqrt{2x} + \sqrt[3]{x}) dx[/tex3]

[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8}\sqrt{x}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8}\sqrt[^3]{x}dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{2}+1}dx\,+\,\int \limits_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}+1} dx[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8} \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} dx[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\int\limits_{0}^{8} x^{\frac{3}{2}}dx\,+\,\int\limits_{0}^{8}\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}dx[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(8^{\frac{3}{2}}\,-\,0^{\frac{3}{2}}\)\,+\;\frac{3}{4}\(8^{\frac{4}{3}}\,-\,0^{\frac{4}{3}}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(\sqrt{8^3}\)\,+\;\frac{3}{4}\(\sqrt[3]{8^4}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(\sqrt{512}\)\,+\;\frac{3}{4}\(\sqrt[3]{4096}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\sqrt{2}\(16\cdot \sqrt{2}\)\,+\;\(\frac{3}{4}\cdot 16\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\(\sqrt{2^2}\cdot 16\)+\(\frac{3}{4}\cdot {16}\)[/tex3]
[tex3]\frac{2}{3}\cdot 2\cdot 16\;+\;\frac{3}{4}\cdot 16[/tex3]
[tex3]\frac{64}{3}\,+\,\frac{48}{4}[/tex3]
[tex3]\frac{(64\times4)\,+\,(48\times3)}{3\times 4}[/tex3]
[tex3]\frac{256\,+\,144}{12}[/tex3]
[tex3]\frac{400}{12}[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{100}{3}}[/tex3]

Quanto à segunda:
Numa calculadora TI-Nspire CX CAS dá:
integral dupla-01.jpg
integral dupla-01.jpg (14.8 KiB) Exibido 1410 vezes
Se digitar como se segue: [tex3](int(0,8)int(x,3x)(3*sqrt(16-x^2)dy)dx[/tex3] , no WolframAlpha, dará o valor de:[tex3]128.000000000...(1+3i\sqrt{3})\approx 128.\,+\,665.108i[/tex3]

Espero que de certa forma tenha ajudado

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Loreto
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Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por Loreto » Sáb 24 Dez, 2016 11:50

Olá LuMartins, você teria a resposta desse primeiro exercício?



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rodrigo1249
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Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por rodrigo1249 » Dom 25 Dez, 2016 12:27

a 1 integral é igual a 128.
[tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^{2}}dy[/tex3] = [tex3]6x\sqrt{16-x^{2}}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{4}6x \sqrt{16-x^{2}}dx[/tex3] = 128 (use [tex3]x^{2}[/tex3] =a e da=2xdx)
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Dez 2016 28 21:22

Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por olgario » Qua 28 Dez, 2016 21:22

Olá! LuMartins e Rodrigo.

Começando a resolução das integrais de dentro para fora.

[tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3]

Resolvendo a integral interna [tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy[/tex3] , numa calculadora TI-Nspire CX CAS, dá: [tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3]

Aliás o WolframAlpha também diz que: [tex3]\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\;=\;6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] , e para a resolução da mesma começa por dizer:

Aplique o teorema fundamental de cálculo.

A antiderivada de [tex3]:\,\;3\sqrt{16-x^2}\;[/tex3] é [tex3]\;3\sqrt{16-x^2}\,\, y:[/tex3]

[tex3]=3\sqrt{16-x^2}\,\,y|_{y=x}^ {3x}[/tex3]

Avaliar a antiderivada dos limites e subtrair.

Mas como não estou inscrito naquela plataforma, ela não me mostra mais passos para além destes.
Rodrigo! Como você procedeu com [tex3]\;\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\;[/tex3] para chegar na expressão [tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] ?

Também foi pelo WolframAlpha? Ou foi pelo seu raciocínio ? É que a integral desta expressão, [tex3]6x\sqrt{16-x^2}\,\,[/tex3] com limites de [tex3][0,4][/tex3] e em relação a [tex3]dx,\,[/tex3] ou seja, a externa, eu já resolvi de modo a chegar no valor [tex3]\;128,[/tex3] que é a solução.
O busílis da questão é resolver a interna em ordem a [tex3]dy,\,[/tex3] mas, sem calculadoras e WolframAlpha, ou talvez através deste, se houver alguém que esteja inscrito e consiga o método passo a passo e os coloque aqui, de modo a sabermos como chegar em: [tex3]6x\sqrt{16-x^2}.[/tex3]
Se algum de vocês já o conseguiu, ou quem sabe, outro usuário que perceba mais do assunto e me/ou nos queira ajudar, ficaria imensamente grato se procedessem à respectiva postagem.
Grato
Olgario

LuMartins
Se entretanto ainda não conseguiu resolver a externa: [tex3]\,\int\limits_{0}^{4}6x\sqrt{16-x^2}dx\,,[/tex3] diga, que eu procedo à respectiva postagem.
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Dez 2016 28 22:17

Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17092) » Qua 28 Dez, 2016 22:17

Olá, LuMartins, Olgario, Loreto e Rodrigo!

Pelo meu conhecimento de Cálculo, uma expressão do tipo:
[tex3]\int^{x_{sup.}}_{x_{inf.}}a dx[/tex3] , onde a [tex3]\neq[/tex3] 0 é a integral de uma constante (um número ou letra que não depende da variável).
O mesmo raciocínio pode ser aplicado ao "meio" da integral:
[tex3]\int\limits_{x}^{3x}(3\sqrt{16-x^2})dy[/tex3] = [tex3](3\sqrt{16-x^2})y]^{3x}_{x}[/tex3] = [tex3]3x(3\sqrt{16-x^2}) - x(3\sqrt{16-x^2})[/tex3] = [tex3]2x(3\sqrt{16-x^2})[/tex3] = ´[tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3]
Com a solução da primeira etapa, nós podemos avançar com a segunda. Na segunda, nós vamos utilizar o método da substituição de variáveis:
[tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3] , mas [tex3]\int\limits_{x}^{3x}(3\sqrt{16-x^2})dy[/tex3] = ´[tex3]6x\sqrt{16-x^2}[/tex3] :
[tex3]\int\limits_{0}^{4} (6x\sqrt{16-x^2})dx[/tex3]
Fazendo x² = t (raciocínio de Rodrigo):
[tex3]\frac{dt}{dx} =2x[/tex3] => dt = (2x)dx
Substituindo os limites superiores e inferiores da integral anterior:
[tex3]t_{sup.} = (x_{sup.})^2[/tex3] , mas [tex3]x_{sup.} = 4[/tex3] :
[tex3]t_{sup.} = 4^2[/tex3] => [tex3]t_{sup.} = 16[/tex3]
[tex3]t_{inf.} = (x_{inf.})^2[/tex3] , mas [tex3]x_{inf.} = 0[/tex3] :
[tex3]t_{inf.} = 0^2[/tex3] => [tex3]t_{inf.} = 0[/tex3]
Logo, a nossa nova integral será:
[tex3]\int\limits_{0}^{4} (6x\sqrt{16-x^2})dx[/tex3] = [tex3]\int\limits_{0}^{4}3(\sqrt{16-x^2})2xdx[/tex3] = [tex3]\int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt[/tex3]
Podemos aplicar novamente o método da substituição de variáveis:
[tex3]\int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt[/tex3]
Fazendo r = 16 - t:
[tex3]\frac{dr}{dt} =-1[/tex3] => dr = -dt
Substituindo os limites superiores e inferiores da integral anterior:
[tex3]r_{sup.} = 16 - t_{sup.}[/tex3] , mas [tex3]t_{sup.} = 16[/tex3] :
[tex3]r_{sup.} = 16 -16[/tex3] => [tex3]r_{sup.} = 0[/tex3]
[tex3]r_{inf.} = 16 - t_{inf.}[/tex3] , mas [tex3]t_{inf.} = 0[/tex3] :
[tex3]r_{inf.} = 16 - 0[/tex3] => [tex3]r_{inf.} = 16[/tex3]
Daí, a nova integral terá a seguinte cara:
[tex3]\int\limits_{0}^{16} 3(\sqrt{16-t})dt[/tex3] = [tex3]\int\limits_{0}^{16} (-3)\cdot(\sqrt{16-t})\cdot(-dt)[/tex3] = [tex3]\int\limits_{16}^{0} -3\sqrt{r}dr[/tex3] = [tex3]\int\limits_{0}^{16}3\sqrt{r}dr[/tex3] = [tex3]3\frac{r^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2} + 1}\bigg]^{16}_0[/tex3] = [tex3]\frac{3r^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg]^{16}_0[/tex3] = [tex3]2\sqrt{r^3}\bigg]^{16}_0[/tex3] = [tex3]2\sqrt{16^3} - {2\sqrt{0^3}}[/tex3] = [tex3]2\sqrt{(4^2)^3}-0[/tex3] = [tex3]2\sqrt{(4^3)^2}[/tex3] = [tex3]2\cdot4^3[/tex3] = 128
Portanto, [tex3]\int\limits_{0}^{4} \(\int\limits_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy\)dx[/tex3] = 128.

Comentário: Que saudade das aulas de Cálculo! Espero voltar ao ensino superior logo.

Bons estudos!
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Dez 2016 29 05:09

Re: Integral Definida/Integral Dupla

Mensagem não lida por olgario » Qui 29 Dez, 2016 05:09

Olá Bernoulli, e a todos os restantes.

Uma vez obtida a integral: [tex3]\int\limits_{0}^{4}6x\sqrt{16-x^2}\,dx[/tex3]

Fazendo [tex3]u=16-x^2\;\;[/tex3]
[tex3]\frac{du}{dx}=-2x[/tex3]
[tex3]du=-2xdx[/tex3]
[tex3]xdx=\frac{du}{-2}[/tex3]

Passando o inteiro [tex3]\,6\,[/tex3] para fora da integral, e a variável [tex3]x[/tex3] que estava multiplicando por ele para junto de [tex3]dx[/tex3] , vamos ter:

[tex3]6\int\limits_{0}^{4}\sqrt{16-x^2}\,xdx[/tex3]

e deste modo podemos enunciar:

[tex3]6\int\limits_{0}^{4}\sqrt{u}\(-\frac{du}{2}\)\;\,=\;\,6\int\limits_{0}^{4}{u}^{\frac{1}{2}}\(-\frac{du}{2}\)\;\,=\,-\frac{6}{2}\int\limits_{0}^{4}u^{\frac{1}{2}}du\;\,=\;\,-3\cdot\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\,\,=\;\,-3\cdot\frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}\;\,=\;\,-\frac{6}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}=\,-2\cdot u^{\frac{3}{2}}\,=-2(16-x^2)^{\frac{3}{2}}=\,-2\sqrt{(16-x^2)^3}\| _{0}^{4}[/tex3]

[tex3]\[-2\sqrt{(16-4^2)^3}\]\,-\;\[-2\sqrt{(16-0^2)^3}\]\;\;=\;\,0\,\,-\,\,(-128)\;=\;\boxed{128}[/tex3]

Creio não ter cometido nenhuma "gafe". Se por acaso o fiz, por favor, me corrijam.

Última edição: caju (Qui 02 Nov, 2017 16:54). Total de 2 vezes.
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