Ensino Superior ⇒ Limite Trigonométrico

[magabi2552]

Encontrar r:

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[tex3]r = \lim_{v\rightarrow \frac{\pi}{3}}\left[\frac{1-2\cos(v)}{\text{sen} (v-\frac{\pi}{3})}\right][/tex3]

Dado:

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[tex3]\text{sen}(a-b) = \text{sen} a\cdot\cos b - \text{sen} b\cdot \cos a[/tex3]

Resposta

---

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

[LucasPinafi]

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[tex3]\sin \left( v - \frac \pi 3 \right) = \sin v \cos \frac \pi 3 - \cos v \sin \frac \pi 3 = \frac 1 2 \sin v -\frac {\sqrt 3} 2 \cos v \\ \\ I= \lim_{v \to \frac \pi 3 } \frac{1- 2 \cos v}{\frac 1 2 \sin v - \frac{\sqrt 3 } 2 \cos v} = 2 \lim_{v \to \frac \pi 3} \frac{(1- 2 \cos v)(\sin v + \sqrt 3 \cos v)}{(\sin v - \sqrt 3 \cos v)(\sin v + \sqrt 3 \cos v)} \\ \\ I = 2 \lim_{v \to \frac \pi 3} \frac{(1- 2 \cos v) ( \sin v + \sqrt 3 \cos v)}{\sin^2 v - 3 \cos^2 v} = 2 \lim_{v \to \frac \pi 3} \frac{( 1- 2 \cos v) (\sin v + \sqrt 3 \cos v)}{1 - 4 \cos^2 v}\\ \\ I = 2 \lim_{v \to \frac \pi 3} \frac{(1- 2 \cos v) ( \sin v +\sqrt 3 \cos v)}{(1- 2 \cos v) (1+ 2 \cos v)} = 2 \lim_{v \to \frac \pi 3} \frac{\sin v + \sqrt 3 \cos v}{1+ 2 \cos v} = \sqrt 3[/tex3]

Obs:

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[tex3]\cos^2 v + \sin^2 v = 1[/tex3]

, logo

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[tex3]\sin^2 v - 3 \cos^2 v = 1 - 4 \cos^2 v= (1- 2 \cos v) (1+ 2 \cos v)[/tex3]

, pois

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[tex3]a^2 - b^2 = (a-b) (a+b)[/tex3]