Ensino SuperiorIntegrais Duplas Área Tópico resolvido

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hugobarbosa
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Integrais Duplas Área

Mensagem não lida por hugobarbosa » Dom 23 Out, 2016 17:23

Boa Tarde;

Se Puderem me informar, como encontrar os limites de integração, já ficaria extremamente grato.

1)Calcular a área formada entre a curva r = a (secθ+cosθ) e sua assíntota, como mostrado na figura abaixo. R: 5*π*a² /4.
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Obrigado!

Última edição: hugobarbosa (Dom 23 Out, 2016 17:23). Total de 1 vez.



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LucasPinafi
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Re: Integrais Duplas Área

Mensagem não lida por LucasPinafi » Dom 23 Out, 2016 23:18

Como no outro exercício, temos que:
A = \iint_B dx dy = \iint_{B^*} r dr d\theta
Novamente, - \frac{\pi} 2 \leq \theta \leq \frac{\pi} 2 e a \sec \theta \leq r \leq a ( \sec \theta + \cos \theta ).
Como tu disse que tem alguma dificuldade em escrever o limite, vou escrever a linha de raciocínio de maneira mais detalhada. Veja que a área que tu quer calcular está entre as curvas - dadas em coordenadas polares - r = a \sec \theta e r = a (\sec \theta + \cos \theta ). Assim, r deve estar entre essas curvas. Agora, devemos mostrar a angulação. Veja que se está indo do infinito no quarto quadrante, até o infinito no primeiro quadrante. Assim, você vê que - \frac{\pi} 2 \leq \theta \leq \frac{\pi} 2.
A = \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} \int_{a \sec \theta} ^{a(\sec \theta + \cos \theta )} r dr d\theta = \frac 1 2 \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} \left r^2 \right|_{r=a \sec \theta}^{r = a (\sec \theta + \cos \theta ) } d\theta
A = \frac{a^2} 2 \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}}((\sec \theta + \cos \theta ) - \sec^2 \theta ) d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2} }(2 \sec \theta \cos \theta + \cos^2 \theta ) d \theta
A= \frac{a^2}{2}\int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} (2 + \cos^2 \theta ) d \theta = \frac{a^2} 2 \left(\int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} 2 d\theta + \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d \theta \right)
Como:
\int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} 2 d\theta = 2 \pi
\int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d \theta =   \int_{0 } ^{\frac{\pi}{2}} ( 1 + \cos 2 \theta ) d \theta = \left \ ( \theta + \frac 1 2 \sin 2 \theta ) \right|_{\theta =0}^{\theta = \pi/2} = \frac {\pi} 2
Logo,
A= \frac{a^2} 2 \left( 2\pi + \frac{\pi} 2 \right)  = \frac{5\pi a^2}{4}

Última edição: LucasPinafi (Dom 23 Out, 2016 23:18). Total de 1 vez.


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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Re: Integrais Duplas Área

Mensagem não lida por hugobarbosa » Seg 24 Out, 2016 13:26

Muito Obrigado Lucas Pinafi, vou refazer esta questões e alguns exercícios. Más já estou começando entender o raciocínio.




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