Ensino Superior ⇒ Integrais Duplas Área Tópico resolvido

[hugobarbosa]

Boa Tarde;

Se Puderem me informar, como encontrar os limites de integração, já ficaria extremamente grato.

1)Calcular a área formada entre a curva r = a (secθ+cosθ) e sua assíntota, como mostrado na figura abaixo. R: 5*π*a² /4.

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Obrigado!

[LucasPinafi]

Como no outro exercício, temos que:

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[tex3]A = \iint_B dx dy = \iint_{B^*} r dr d\theta[/tex3]

Novamente,

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[tex3]- \frac{\pi} 2 \leq \theta \leq \frac{\pi} 2[/tex3]

e

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[tex3]a \sec \theta \leq r \leq a ( \sec \theta + \cos \theta )[/tex3]

.
Como tu disse que tem alguma dificuldade em escrever o limite, vou escrever a linha de raciocínio de maneira mais detalhada. Veja que a área que tu quer calcular está entre as curvas - dadas em coordenadas polares -

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[tex3]r = a \sec \theta[/tex3]

e

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[tex3]r = a (\sec \theta + \cos \theta )[/tex3]

. Assim,

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[tex3]r[/tex3]

deve estar entre essas curvas. Agora, devemos mostrar a angulação. Veja que se está indo do infinito no quarto quadrante, até o infinito no primeiro quadrante. Assim, você vê que

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[tex3]- \frac{\pi} 2 \leq \theta \leq \frac{\pi} 2[/tex3]

.

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[tex3]A = \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} \int_{a \sec \theta} ^{a(\sec \theta + \cos \theta )} r dr d\theta = \frac 1 2 \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} \left r^2 \right|_{r=a \sec \theta}^{r = a (\sec \theta + \cos \theta ) } d\theta[/tex3]

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[tex3]A = \frac{a^2} 2 \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}}((\sec \theta + \cos \theta ) - \sec^2 \theta ) d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2} }(2 \sec \theta \cos \theta + \cos^2 \theta ) d \theta[/tex3]

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[tex3]A= \frac{a^2}{2}\int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} (2 + \cos^2 \theta ) d \theta = \frac{a^2} 2 \left(\int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} 2 d\theta + \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d \theta \right)[/tex3]

Como:

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[tex3]\int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} 2 d\theta = 2 \pi[/tex3]

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[tex3]\int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d \theta = \int_{0 } ^{\frac{\pi}{2}} ( 1 + \cos 2 \theta ) d \theta = \left \ ( \theta + \frac 1 2 \sin 2 \theta ) \right|_{\theta =0}^{\theta = \pi/2} = \frac {\pi} 2[/tex3]

Logo,

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[tex3]A= \frac{a^2} 2 \left( 2\pi + \frac{\pi} 2 \right) = \frac{5\pi a^2}{4}[/tex3]

[hugobarbosa]

Muito Obrigado Lucas Pinafi, vou refazer esta questões e alguns exercícios. Más já estou começando entender o raciocínio.