Ensino SuperiorIntegrais Duplas Área Cardioide Tópico resolvido

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hugobarbosa
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Out 2016 23 14:34

Integrais Duplas Área Cardioide

Mensagem não lida por hugobarbosa » Dom 23 Out, 2016 14:34

Boa Tarde; Se Puderem me ajudar nesta questão.

1)Calcular a área formada dentro do cardioide r = a(1 + cos θ) e fora do círculo r = a, como mostrado na figura haxiurada abaixo. R.(a²/4)*(π + 8 ).
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Obrigado!

Última edição: hugobarbosa (Dom 23 Out, 2016 14:34). Total de 1 vez.



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LucasPinafi
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Out 2016 23 15:58

Re: Integrais Duplas Área Cardioide

Mensagem não lida por LucasPinafi » Dom 23 Out, 2016 15:58

Temos que,
A= \iint_B dx dy = \iint_{B^*} r dr d\theta
Pela figura, podemos ver que - \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, e a \leq r \leq a(1+\cos \theta ). Portanto,
A = \iint_{B^*} r dr d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2} } \int_a^{a(1+\cos \theta ) } r dr d\theta  =\frac 1 2 \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2} } \left r^2 \right|_{r=a}^{r= a(1+\cos \theta ) }
A= \frac 1 2 \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2} } \left( a^2(1+2 \cos \theta + \cos^2 \theta \right) -a^2 ) d \theta  = \frac {a^2} 2 \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2} } (2 \cos \theta + \cos^2 \theta ) d \theta
A = \frac{a^2}{2} \left(\int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2} } 2 \cos \theta d \theta   + \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2} } \cos^2 \theta d \theta \right) = \frac{a^2}{2} \int_{-\frac{\pi}{2} } ^{\frac{\pi}{2} } \frac{1+\cos 2\theta}{2} d \theta = \frac{a^2(\pi +8)}{4}

Última edição: LucasPinafi (Dom 23 Out, 2016 15:58). Total de 1 vez.


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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Re: Integrais Duplas Área Cardioide

Mensagem não lida por hugobarbosa » Dom 23 Out, 2016 16:33

Muito Obrigado Lucas Pinafi. Tenho muito dificuldade em definir os limites de integração, ajudou bastante.




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