Ensino Superior ⇒ Solução de uma EDO

[mateuspir2]

Olá a todos.

Queria saber como se resolve a equação diferencial abaixo:

x^2*y' + y = x^2*e^1/x

Meu professor disse que essa é separável, mas não consegui separar. Se alguém puder ajudar agradeço muito.

Obrigado.

[Radius]

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[tex3]x^2y' + y = x^2e^{1/x}[/tex3]

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[tex3]y' + \frac{1}{x^2}\cdot y =e^{1/x}[/tex3]

Multiplicando os lados por

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[tex3]\exp\left({\int \frac{1}{x^2}dx}\right)=\exp\left(-\frac{1}{x}\right)[/tex3]

Ficamos com

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[tex3]\Large \left({e^{-\frac{1}{x}}\cdot y\right)'=1[/tex3]

portanto

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[tex3]\Large y=(x+C)\cdot e^{1/x}[/tex3]

[mateuspir2]

Radius você poderia mostrar como chegou no resultado (e^-1/x * y)' = 1 logo após ter multiplicado por e^-1/x? Obrigado.

[Radius]

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[tex3]\exp\left({\int \frac{1}{x^2}dx}\right)=\exp\left(-\frac{1}{x}\right)[/tex3]

é o fator de integração.

Uma EDO na forma

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[tex3]y' + u(x)\cdot y =v(x)[/tex3]

pode ser multiplicada em ambos os lados por esse fator, dado por

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[tex3]f(x)=\exp\left({\int u(x)dx}\right)[/tex3]

que deixará a EDO simplificada

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[tex3](f\cdot y)' =v(x)\cdot f(x)[/tex3]

[mateuspir2]

Ah, sim. Dei uma olhada aqui e realmente tem um método pra resolver isso. Refiz aqui e bateu com teu resultado. Valeu aí, Radius. Obrigado mesmo!