Ensino Superior ⇒ Limites com funções trigonométricas Tópico resolvido

[caiorsf]

Pessoal preciso resolver os seguintes limites sem usar L'Hopital. Tentei usar as técnicas de simplificação, mas ainda está dando indeterminação.Quem puder continuar minha conta ou resolver de outra maneira , eu agradeço.

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[tex3]\[a) \lim_{x\rightarrow -2}\frac{tan(x\pi)}{x+2}\][/tex3]

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[tex3]\[\lim_{x\rightarrow -2}\frac{tan(x\pi)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{sen(x\pi)}{(x+2)cos(x\pi)} =\lim_{x\rightarrow -2}\frac{sen(x\pi)}{xcos(x\pi)+2cos(x\pi)}=\lim_{u\rightarrow -2\pi}\frac{sen(u)}{\frac{u}{\pi}cos(u)+2cos(u)}=\lim_{u\rightarrow -2\pi}\frac{sen(u)}{(2+\frac{u}{\pi})cos(u)}\][/tex3]

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[tex3]\[b) \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{senx-cosx}{1-tanx}\][/tex3]

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[tex3]\[\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{senx-cosx}{1-tanx}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{(1+tanx)(senx-cosx)}{1-tan^{2}x}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{(1+tanx)(senx-cosx)}{1-(sec^{2}x-1)}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{(1+tanx)(senx-cosx)}{2-sec^{2}x}\][/tex3]

[LucasPinafi]

(a)

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[tex3]L= \lim_{x \to -2} \frac{\tan (\pi x)}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{\sin (\pi x)}{\cos (\pi x) (x+2)} = \frac{1}{\cos (-2\pi )} \lim_{x\to -2} \frac{\sin (\pi x)}{x+2}\\ L = \lim_{x\to -2}\frac{\sin (\pi x)}{x+2} = \lim_{x\to -2} \frac{\sin (\pi [ x+2-2])}{x+2} = \lim_{x\to -2} \frac{\sin [\pi (x+2)-2\pi]}{x+2} \\ L = \lim_{x \to -2} \frac{\sin \pi (x+2) \cdot \cos (2\pi ) - \cos \pi (x+2) \cdot \sin (2\pi)}{x+2} \\ L =\lim_{x \to -2} \frac{\sin \pi (x+2)}{x+2} = \lim_{ x \to -2}\pi \frac{\sin \pi (x+2)}{\pi (x+2) }= \pi[/tex3]

* obs:
1- Na primeira linha, foi utilizado o fato que o limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites. Esse fato foi utilizado para retirar o

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[tex3]\frac{1}{\cos (\pi x)}[/tex3]

do limite e ficarmos com

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[tex3]\lim_{ x\to -2} \frac{1}{\cos (\pi x)} \times \dots[/tex3]

que vale

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[tex3]\frac{1}{\cos(-2\pi )}[/tex3]

que é igual a 1.
2- Se você não tivesse tido a ideia de somar e subtrair 2 no argumento do seno, poderia ter simplesmente ter feito uma troca de variáveis u = x+2.
3- No último passo foi utilizado o limite fundamental.
(b)

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[tex3]L = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin x - \cos x}{1 - \tan x} = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin x - \cos x}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}}= \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin x - \cos x}{\frac{\cos x - \sin x}{\cos x}} \\ L = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\cos x ( \sin x - \cos x)}{\cos x - \sin x} = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } - \cos x = - \frac { \sqrt 2 } 2[/tex3]