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Limites com funções trigonométricas
Enviado: Qua 24 Ago, 2016 14:33
por caiorsf
Re: Limites com funções trigonométricas
Enviado: Qua 24 Ago, 2016 15:35
por LucasPinafi
(a)
![L= \lim_{x \to -2} \frac{\tan (\pi x)}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{\sin (\pi x)}{\cos (\pi x) (x+2)} = \frac{1}{\cos (-2\pi )} \lim_{x\to -2} \frac{\sin (\pi x)}{x+2}\\ L = \lim_{x\to -2}\frac{\sin (\pi x)}{x+2} = \lim_{x\to -2} \frac{\sin (\pi [ x+2-2])}{x+2} = \lim_{x\to -2} \frac{\sin [\pi (x+2)-2\pi]}{x+2} \\ L = \lim_{x \to -2} \frac{\sin \pi (x+2) \cdot \cos (2\pi ) - \cos \pi (x+2) \cdot \sin (2\pi)}{x+2} \\ L =\lim_{x \to -2} \frac{\sin \pi (x+2)}{x+2} = \lim_{ x \to -2}\pi \frac{\sin \pi (x+2)}{\pi (x+2) }= \pi](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mimetex_.cgi?L=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20-2%7D%20%5Cfrac%7B%5Ctan%20(%5Cpi%20x)%7D%7Bx+2%7D%20=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20-2%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20(%5Cpi%20x)%7D%7B%5Ccos%20(%5Cpi%20x)%20(x+2)%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%20(-2%5Cpi%20)%7D%20%5Clim_%7Bx%5Cto%20-2%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20(%5Cpi%20x)%7D%7Bx+2%7D%5C%5C%20L%20=%20%5Clim_%7Bx%5Cto%20-2%7D%5Cfrac%7B%5Csin%20(%5Cpi%20x)%7D%7Bx+2%7D%20=%20%5Clim_%7Bx%5Cto%20-2%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20(%5Cpi%20%5B%20x+2-2%5D)%7D%7Bx+2%7D%20=%20%5Clim_%7Bx%5Cto%20-2%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5B%5Cpi%20(x+2)-2%5Cpi%5D%7D%7Bx+2%7D%20%5C%5C%20L%20=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20-2%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cpi%20(x+2)%20%5Ccdot%20%5Ccos%20(2%5Cpi%20)%20-%20%5Ccos%20%5Cpi%20(x+2)%20%5Ccdot%20%5Csin%20(2%5Cpi)%7D%7Bx+2%7D%20%5C%5C%20L%20=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20-2%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cpi%20(x+2)%7D%7Bx+2%7D%20=%20%5Clim_%7B%20x%20%5Cto%20-2%7D%5Cpi%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cpi%20(x+2)%7D%7B%5Cpi%20(x+2)%20%7D=%20%5Cpi "L= \lim_{x \to -2} \frac{\tan (\pi x)}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{\sin (\pi x)}{\cos (\pi x) (x+2)} = \frac{1}{\cos (-2\pi )} \lim_{x\to -2} \frac{\sin (\pi x)}{x+2}\\ L = \lim_{x\to -2}\frac{\sin (\pi x)}{x+2} = \lim_{x\to -2} \frac{\sin (\pi [ x+2-2])}{x+2} = \lim_{x\to -2} \frac{\sin [\pi (x+2)-2\pi]}{x+2} \\ L = \lim_{x \to -2} \frac{\sin \pi (x+2) \cdot \cos (2\pi ) - \cos \pi (x+2) \cdot \sin (2\pi)}{x+2} \\ L =\lim_{x \to -2} \frac{\sin \pi (x+2)}{x+2} = \lim_{ x \to -2}\pi \frac{\sin \pi (x+2)}{\pi (x+2) }= \pi")
* obs:
1- Na primeira linha, foi utilizado o fato que o limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites. Esse fato foi utilizado para retirar o
%7D "\frac{1}{\cos (\pi x)}")
do limite e ficarmos com
%7D%20%5Ctimes%20%5Cdots "\lim_{ x\to -2} \frac{1}{\cos (\pi x)} \times \dots")
que vale
%7D "\frac{1}{\cos(-2\pi )}")
que é igual a 1.
2- Se você não tivesse tido a ideia de somar e subtrair 2 no argumento do seno, poderia ter simplesmente ter feito uma troca de variáveis u = x+2.
3- No último passo foi utilizado o limite fundamental.
(b)
%7D%7B%5Ccos%20x%20-%20%5Csin%20x%7D%20=%20%5Clim_%7B%20x%20%5Cto%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20%7D%20-%20%5Ccos%20x%20%20=%20-%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%202%20%7D%202 "L = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin x - \cos x}{1 - \tan x} = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin x - \cos x}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}}= \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin x - \cos x}{\frac{\cos x - \sin x}{\cos x}} \\ L = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\cos x ( \sin x - \cos x)}{\cos x - \sin x} = \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } - \cos x = - \frac { \sqrt 2 } 2")
![\[a) \lim_{x\rightarrow -2}\frac{tan(x\pi)}{x+2}\]](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mimetex_.cgi?%5C%5Ba)%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20-2%7D%5Cfrac%7Btan(x%5Cpi)%7D%7Bx+2%7D%5C%5D "\[a) \lim_{x\rightarrow -2}\frac{tan(x\pi)}{x+2}\]")
![\[\lim_{x\rightarrow -2}\frac{tan(x\pi)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{sen(x\pi)}{(x+2)cos(x\pi)} =\lim_{x\rightarrow -2}\frac{sen(x\pi)}{xcos(x\pi)+2cos(x\pi)}=\lim_{u\rightarrow -2\pi}\frac{sen(u)}{\frac{u}{\pi}cos(u)+2cos(u)}=\lim_{u\rightarrow -2\pi}\frac{sen(u)}{(2+\frac{u}{\pi})cos(u)}\]](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mimetex_.cgi?%5C%5B%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20-2%7D%5Cfrac%7Btan(x%5Cpi)%7D%7Bx+2%7D=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20-2%7D%5Cfrac%7Bsen(x%5Cpi)%7D%7B(x+2)cos(x%5Cpi)%7D%20=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20-2%7D%5Cfrac%7Bsen(x%5Cpi)%7D%7Bxcos(x%5Cpi)+2cos(x%5Cpi)%7D=%5Clim_%7Bu%5Crightarrow%20-2%5Cpi%7D%5Cfrac%7Bsen(u)%7D%7B%5Cfrac%7Bu%7D%7B%5Cpi%7Dcos(u)+2cos(u)%7D=%5Clim_%7Bu%5Crightarrow%20-2%5Cpi%7D%5Cfrac%7Bsen(u)%7D%7B(2+%5Cfrac%7Bu%7D%7B%5Cpi%7D)cos(u)%7D%5C%5D "\[\lim_{x\rightarrow -2}\frac{tan(x\pi)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{sen(x\pi)}{(x+2)cos(x\pi)} =\lim_{x\rightarrow -2}\frac{sen(x\pi)}{xcos(x\pi)+2cos(x\pi)}=\lim_{u\rightarrow -2\pi}\frac{sen(u)}{\frac{u}{\pi}cos(u)+2cos(u)}=\lim_{u\rightarrow -2\pi}\frac{sen(u)}{(2+\frac{u}{\pi})cos(u)}\]")
![\[b) \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{senx-cosx}{1-tanx}\]](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mimetex_.cgi?%5C%5Bb)%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%7D%5Cfrac%7Bsenx-cosx%7D%7B1-tanx%7D%5C%5D "\[b) \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{senx-cosx}{1-tanx}\]")
![\[\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{senx-cosx}{1-tanx}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{(1+tanx)(senx-cosx)}{1-tan^{2}x}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{(1+tanx)(senx-cosx)}{1-(sec^{2}x-1)}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{(1+tanx)(senx-cosx)}{2-sec^{2}x}\]](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mimetex_.cgi?%5C%5B%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%7D%20%5Cfrac%7Bsenx-cosx%7D%7B1-tanx%7D=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%7D%20%5Cfrac%7B(1+tanx)(senx-cosx)%7D%7B1-tan%5E%7B2%7Dx%7D=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%7D%20%5Cfrac%7B(1+tanx)(senx-cosx)%7D%7B1-(sec%5E%7B2%7Dx-1)%7D=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%7D%20%5Cfrac%7B(1+tanx)(senx-cosx)%7D%7B2-sec%5E%7B2%7Dx%7D%5C%5D "\[\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{senx-cosx}{1-tanx}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{(1+tanx)(senx-cosx)}{1-tan^{2}x}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{(1+tanx)(senx-cosx)}{1-(sec^{2}x-1)}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{(1+tanx)(senx-cosx)}{2-sec^{2}x}\]")