Ensino SuperiorCálculo de limite Tópico resolvido

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caiorsf
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Ago 2016 20 14:55

Cálculo de limite

Mensagem não lida por caiorsf » Sáb 20 Ago, 2016 14:55

Quero calcular o seguinte limite sem usar L'Hopital
\[\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^{m}-1}{x^{n}-1}\]
\[m,n\in \mathbb{Z}\]
O jeito que eu fiz:
\[\frac{x^{m}-1}{x^{n}-1}\left (\frac{x^{n}+1}{x^{n}+1} \right )=\frac{\left (x^{m}-1 \right )(x^{n}+1)}{x^{n^{2}}-1} = \frac{x^{m+n}+x^{m}-x^{n}-1}{x^{n^{2}}-1}=\frac{x^{m}(x^{n}+1)-(x^{n}+1)}{x^{n^{2}}-1}=\frac{\left (x^{n}+1 \right )\left (x^{m}-1 \right )}{x^{n^{2}}-1}\]
Se eu continuar, eu paro onde eu começei. Como resolvo?
Resposta: \[\frac{m}{n}\]

Última edição: caiorsf (Sáb 20 Ago, 2016 14:55). Total de 1 vez.



danjr5
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Re: Cálculo de limite

Mensagem não lida por danjr5 » Seg 22 Ago, 2016 17:40

Olá Caio!

Note que:

\\ \mathsf{x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)} \\ \mathsf{x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)} \\ \mathsf{x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)} \\ ... \\ \mathsf{x^m - 1 = (x - 1)(x^{m - 1} + x^{m - 2} + x^{m - 3} + ... + 1)}

Com efeito,

\\ \mathsf{\lim_{x \to 1} \frac{x^m - 1}{x^n - 1} =} \\\\\\ \mathsf{\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^{m - 1} + x^{m - 2} + x^{m - 3} + ... + 1)}{(x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} + ... + 1)} =} \\\\\\ \mathsf{\lim_{x \to 1} \frac{(x^{m - 1} + x^{m - 2} + x^{m - 3} + ... + 1)}{(x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} + ... + 1)} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(1^{m - 1} + 1^{m - 2} + 1^{m - 3} + ... + 1)}{(1^{n - 1} + 1^{n - 2} + 1^{n - 3} + ... + 1)} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(\overbrace{1 + 1 + 1 + ... +}^{m - 1 \ \ vezes} 1)}{(\underbrace{1 + 1 + 1 + ... +}_{n - 1 \ \ vezes} 1)} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(m - 1) \cdot 1 + 1}{(n - 1) \cdot 1 + 1} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{m - 1 + 1}{n - 1 + 1} =} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{m}{n}}}}

Última edição: danjr5 (Seg 22 Ago, 2016 17:40). Total de 1 vez.


"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)

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