Ensino Superior ⇒ Prova a partir da definição de limite Tópico resolvido

[caiorsf]

Tenho que provar esse limite a partir da definição

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[tex3]\[\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1}{x} = 1\][/tex3]

Como eu fiz:

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[tex3]\[|f(x)-L|=\left |\frac{1}{x}-1 \right |=\left |\frac{1-x}{x} \right |=\left |\frac{-(x-1)}{x} \right |=\left |\frac{x-1}{x} \right |=\left |x-1 \right |\left |\frac{1}{x} \right |<\varepsilon\][/tex3]

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[tex3]\[\left (-\infty,0 \right )\][/tex3]

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[tex3]\[(1-x)\left (\frac{-1}{x} \right )<\varepsilon\][/tex3]

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[tex3]\[x<\frac{1}{1-\varepsilon }\][/tex3]

Rearranjando para conseguir

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[tex3]\[|x-1|\][/tex3]

, nesse caso

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[tex3]\[|x-1|=1-x\][/tex3]

:

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[tex3]\[|x-1|>1-\frac{1}{1-\varepsilon }\][/tex3]

Fazendo o mesmo raciocínio para outros intervalos:

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[tex3]\[(0,1)\][/tex3]

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[tex3]\[|x-1|<1-\frac{1}{1+\varepsilon }\][/tex3]

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[tex3]\[(1,\infty)\][/tex3]

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[tex3]\[|x-1|<\frac{1}{1-\varepsilon }-1\][/tex3]

Qual seria o meu

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[tex3]\[\delta\][/tex3]

? Um dos três, os três? Cheguei aqui e não sei concluir. Peço que me ajudem

[LucasPinafi]

Veja que não é necessário fazer para os três intervalos, mas apenas para a proximidades para x em 1, ou seja, apenas o segundo e o terceiro (obviamente, o terceiro você poderia reduzir a um intervalo menor, mas isso não faz diferença nenhuma nesse momento). Por fim, tu quer que delta seja menor que esses dois, logo tome seu mínimo. Escreva: delta = min {... , ....,}.
Creio que funciona assim... vou pensar melhor depois