Ensino Superior ⇒ Demonstração Teorema - Propriedade entre inteiros - PBO

[Schuler8]

Estou iniciando meus estudos em provas e demonstrações, caso tenham indicações de livros ou textos ficaria grato.

Utilizando o Princípio da Boa Ordenação demonstrar porque para todo [tex3]m, n \in \mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]m, n \in \mathbb{Z}[/tex3]

temos [tex3]m<n\Leftrightarrow m+1\leq n[/tex3]

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[tex3]m<n\Leftrightarrow m+1\leq n[/tex3]

Considerei provar por contradição e defini o conjunto A = {[tex3]m, n \in \mathbb{Z} \mid m>n\rightarrow m+1\leq n[/tex3]

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[tex3]m, n \in \mathbb{Z} \mid m>n\rightarrow m+1\leq n[/tex3]

} , desta forma a existência do conjunto A invalida a proposição.

O conjunto A tem assim um menor elemento, a saber [tex3]m_0[/tex3]

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[tex3]m_0[/tex3]

, que pertence a ele. Porem isso implica:

[tex3]m_0+1\leq n <m_0\rightarrow m_0+1-m_0\leq n-m_0 <m_0-m_0\rightarrow 1\leq n-m_0 <0[/tex3]

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[tex3]m_0+1\leq n <m_0\rightarrow m_0+1-m_0\leq n-m_0 <m_0-m_0\rightarrow 1\leq n-m_0 <0[/tex3]

O que seria um absurdo, o que me levou a concluir que [tex3]A= \emptyset[/tex3]

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[tex3]A= \emptyset[/tex3]

, provando a definição (pensando na implicação inversa chegaria ao mesmo resultado).

Caso alguém possa avaliar se meu raciocínio esta correto, assim como a demonstração.

Agradeço a atenção.